indécidabilité et conjecture de Goldbach

[matthias]

Un proposition p indécidable dans T n'est ni prouvable ni réfutable dans T.
Je peux construire une théorie T1 en posant comme axiome que p est vraie. Je peux en construire une deuxième T2 ou p est faux. Les deux seront parfaitement cohérentes. On peut alors parler de la fausseté/véracité exclusive, mais on se retrouve dans une théorie (T1 ou T2) plus fortement axiomatisé que T.

Jusque là je suis d'accord.

Cette démarche ne change pas le fait que dans T initiale, ma proposition p n'est ni vraie ni fausse ou, ce qui équivalent, vraie et fausse à la fois.

Non. C'est pour cela que la logique classique avec le principe du tiers exclu est un peu bizarre, elle accorde une valeur de vérité à toutes les propositions, même aux indécidables (mais comme on ne connaît pas cette valeur, on ne s'en sert pas et donc ça ne change pas grand-chose).
Dans la logique intuitionniste on s'interdit ce genre de choses : une proposition indécidable n'est alors ni vraie ni fausse (mais pas les deux attention !!! on garde quand-même le principe de non contradiction, il n'y a pas équivalence entre ces deux formulations).

Petit lien sur le principe du tiers exclu
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[Bloud]

Les deux implications sont vraies pour p. Mais en considérant que le membre de gauche de (2) est vrai ("p faux" est vrai) alors on en déduit que le membre de droite l'est aussi ("p démontrable" est vrai) ce qui est une incohérence dans la théorie considérée puisque:
Pour tout P, P faux => P non démontrable (contraposée de P démontrable => P vraie).
Donc il en résulte que l'implication (2) reste vraie pour p mais que "p faux" est nécessairement faux donc p est nécessairement vraie.

Ok, j'ai compris!
Merci beaucoup.

[invited37a86e7]

C'est pour cela que la logique classique avec le principe du tiers exclu est un peu bizarre, elle accorde une valeur de vérité à toutes les propositions, même aux indécidables (mais comme on ne connaît pas cette valeur, on ne s'en sert pas et donc ça ne change pas grand-chose).
Dans la logique intuitionniste on s'interdit ce genre de choses : une proposition indécidable n'est alors ni vraie ni fausse (mais pas les deux attention !!! on garde quand-même le principe de non contradiction, il n'y a pas équivalence entre ces deux formulations).

Re-pas d'accord
Je ne fais justement pas intervenir le principe du tiers exclu. Et c'est pas bizarre d'avoir des assertions ni vraies ni fausses, c'est comme ça !!! Je reconnais par contre que parler de de "vrai et faux à la fois" au mettre titre que "ni prouvable ni réfutable" est un abus. Dans mon discours c'est synonyme de "ni vrai ni faux" (qui conserve la même ambiguïté logique inhérente à toute théorie contenant l'arithmétique).
Aute exemple, le second théorème d'incomplétude de Gödel dit: "Si T est une théorie cohérente, tout énoncé de T qui affirme la cohérence de T est un indécidable de T".
Dans T, cet énoncé n'est ni vrai ni faux... bien contraire

[matthias]

Je ne fais justement pas intervenir le principe du tiers exclu. Et c'est pas bizarre d'avoir des assertions ni vraies ni fausses, c'est comme ça !!!

Je n'ai pas dit que c'était bizarre d'avoir des propositions ni vraies ni fausses, je dis juste que c'est la négation même du principe du tiers exclu
On peut faire des maths sans ce principe, mais c'est plus pratique avec (ça permet les démonstrations par l'absurde).

Je reconnais par contre que parler de de "vrai et faux à la fois" au mettre titre que "ni prouvable ni réfutable" est un abus. Dans mon discours c'est synonyme de "ni vrai ni faux" (qui conserve la même ambiguïté logique inhérente à toute théorie contenant l'arithmétique).

"vrai et faux" est un abus.
"ni prouvable ni réfutable" n'en est pas un, c'est la définition d'indécidable il me semble.

[invited37a86e7]

"vrai et faux" est un abus.
"ni prouvable ni réfutable" n'en est pas un, c'est la définition d'indécidable il me semble.

Parfaitement d'accord

Par contre je n'ai pas trouvé de réponse à ma question initiale: est-il possible/exclu que la conjecture de Golbach soit indécidable (dans Peano ou ZF) ?
Existe-t-il une démonstration de cela (décidabilité de la conjecture) ou au moins un texte mathématique qui traite ce sujet ?

[matthias]

Visiblement tu n'es pas d'accord avec ma démonstration antérieure :
Si on a une démonstration que la conjecture de Goldbach est indécidable, donc non réfutable, on a par là-même une démonstration qu'il n'existe pas de contre-exemple à la conjecture, donc une démonstration qu'elle est vraie (existence d'un contre-exemple => réfutabilité, puisqu'il suffit d'exhiber un contre-exemple et vérifier qu'il ne satisfait pas la conjecture ce qui se fait avec un nombre fini de tests).
Donc si la conjecture est indécidable, on ne peut pas le démontrer.

Quelque chose cloche là-dedans ?

[invited37a86e7]

Visiblement tu n'es pas d'accord avec ma démonstration antérieure :
Si on a une démonstration que la conjecture de Goldbach est indécidable, donc non réfutable, on a par là-même une démonstration qu'il n'existe pas de contre-exemple à la conjecture, donc une démonstration qu'elle est vraie (existence d'un contre-exemple => réfutabilité, puisqu'il suffit d'exhiber un contre-exemple et vérifier qu'il ne satisfait pas la conjecture ce qui se fait avec un nombre fini de tests).
Donc si la conjecture est indécidable, on ne peut pas le démontrer.

Quelque chose cloche là-dedans ?

Pour moi, ça cloche dès le début. tu dis:
"la conjecture de Goldbach est indécidable => il n'existe pas de contre-exemple à la conjecture"
comment prouves-tu cela ?

au mieux on a:
"la conjecture de Goldbach est indécidable => il n'est pas possible de se prononcer sur l'existence d'un contre-exemple"

Pour prendre un autre exemple l'hypothèse du continu est indécidable dans la théorie des ensembles (basée sur ZF).
Si j'applique ton raisonnement:
"L'Hypothèse du continu est indécidable => il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal soit strictement supérieur à Aleph0 (cardinal de N) et strictement inférieur à 2^Aleph1 (cardinal de R)"
Si c'était vrai, Cantor ne serait pas devenu cinglé !!!

ici encore, au mieux on a:
"L'Hypothèse du continu est indécidable => il n'est pas possible de se prononcer sur l'existence d'un ensemble dont le cardinal soit strictement supérieur à Aleph0 (cardinal de N) et strictement inférieur à 2^Aleph1 (cardinal de R)"

[Bloud]

Pour la conjecture de Goldbach, si elle est fausse alors il est possible de trouver un contre-exemple donc ce n'est pas un indécidable. Par contraposée, si c'est un indécidable alors elle est vraie.
Donc si on pouvait démontrer que c'est un indécidable on démontrerait en même temps qu'elle est vraie, et elle ne serait pas indécidable.
Conclusion : si la conjecture de Goldbach est indécidable, alors la proposition (la conjecture de Goldbach est indécidable) est elle-même indécidable.
Bizarre.
Y aurai-t'il une faille dans ce raisonnement ?

Pour revenir à ce que metacarambar a dit, peut-être que c'est là que le raisonnement coince. En effet, le fait qu'un énoncé soit faux n'implique pas que l'on peut trouver un contre-exemple, je crois. Il suffirait justement que la conjecture soit indécidable. Elle peut alors très bien être fausse mais on ne peut pas se prononcer sur l'existence d'un contre-exemple ni sur sa vérité ou sa non-vérité.
J'ai bien compris ?

[Bloud]

En fait l'énoncé correct ne serait-il pas plutôt :
Si la conjecture de Goldbach est fausse et non indécidable alors il est possible de trouver un contre-exemple ?

[Sylvestre]

En fait l'énoncé correct ne serait-il pas plutôt :
Si la conjecture de Goldbach est fausse et non indécidable alors il est possible de trouver un contre-exemple ?

Bonjour,

J'interviens dans la discussion. Si la conjecture de Goldbach est fausse, alors il existe un contre-exemple et donc une énumération brutale de toutes les décompositions des entiers jusqu'au contre-exemple est une démonstration (car elle se fait en un nombre fini d'étape) de la fausseté de la conjecture.
Donc si Goldbach est fausse, alors elle est réfutable.
Par contraposé, si Goldbach est non réfutable, alors la conjecture est vraie. En particulier, si elle est indécidable, elle est vraie.

Sinon, concernant le fait que des propositions peuvent être ni vrai ni fausse, je crois qu'il y a une confusion. En fait, il y a deux notions qui entrent en jeu. La première est celle de "théorie". Il s'agit d'un ensemble de symbole, de règles de construction de propositions à partir de ces symboles, d'ayiomes et de règles de déduction. Dans une théorie, on ne parle pas de vérité, on parle seulement de démontrabilité. On dit alors qu'une proposition est indécidable si elle n'est ni démontrable ni réfutable.

La seconde notion est celle de "modèle". Il s'agit d'un ensemble dans lequel les termes de la "théorie" prennent un sens. Par exemple, les axiomes d'Euclide et les règles de déduction forment la "théorie de la géométrie", mais il ne s'agit à ce niveau là que de symboles et de manipulation de ces symboles.
Les axiomes sont par exemple :
1) par deux points, il passe une seule droite
...
4)il existe des cercles de toute taille
(Je ne prends pas le cinquième axiome d'Euclide pour illustrer l'exemple qui va suivre).

Un modèle de cette théorie est par exemple, la géométrie du plan. Dans ce cas, les points abstraits deviennent des points de R^2 et toute les propositions ont une valeur de vérité. Par exemple, la proposition :" par un point extérieur à une droite, il n'existe qu'une seule droite qui lui est parallèle" est vraie.

Par contre, la sphère est aussi un modèle des quatres premier axiomes d'Euclide. Il s'agit du "modèle de la géométrie sphérique". Là, la proposition " par un point extérieur à une droite, il n'existe qu'une seule droite qui lui est parallèle" est fausse.

Dans un modèle, les propositions sont soient vraie soient fausses. C'est le tiers exclus. Mais dans une théorie, on ne parle que de démontrabilité.

A bientôt

[invited37a86e7]

En fait l'énoncé correct ne serait-il pas plutôt :
Si la conjecture de Goldbach est fausse et non indécidable alors il est possible de trouver un contre-exemple ?

En fait, la nécessité de trouver un contre-exemple dépend de ce qui est à prouver et de la stratégie employée.
Pour les deux exemples cités dans les posts précédents, trouver un contre exemple (au moins un entier pair qui ne serait pas la somme de deux premiers ou au moins un ensemble de dimension strictement comprise entre le dénombrable et le continu) est suffisant pour prouver la fausseté des énoncés respectifs.
Dans le cas de l'indécidabilité d'un énoncé, on ne peut rien dire de l'existence d'un contre-exemple.

Donc tout ce qu'on peut dire ici, c'est
existence d'un contre-exemple => fausseté de l'énoncé

"non indécidable" ne signifie pas grand chose, mais je comprends ce qui te gène.

En fait pour éclaircir certaines erreurs de raisonnement sur la contraposition d'implication faisant intervenir l'indécidabilité (dans notre formalisme pseudo-mathématique), imaginons trois couleurs:
(1) bleu foncé pour vrai
(2) bleu clair pour faux
(2) vert pour indécidable (ni bleu foncé, ni bleu clair, c'est à dire non bleu, ce qui est cohérent)
On peut dire (pour couvrir complètement notre pseudo formalisme) que bleu (i.e. non vert) signifie "décidable" ou encore "non indécidable" comme tu l'emploies.

soit l'implication (vraie):
p est faux => p est décidable
version colorisée:
p est bleu clair => p est bleu
contraposition:
p n'est pas bleu => p n'est pas bleu clair
en substituant le membre de gauche:
p est vert => p n'est pas bleu clair
en substituant falacieusement le membre de droite:
p est vert => p est bleu foncé (*)
après traduction:
p est indécidable => p est vrai (ce qui est faux)

IMHO, l'erreur est en (*). Il ne faut pas exclure le tiers "vert" dans la négation de "bleu clair".

[Sylvestre]

En fait, la nécessité de trouver un contre-exemple dépend de ce qui est à prouver et de la stratégie employée.
Pour les deux exemples cités dans les posts précédents, trouver un contre exemple (au moins un entier pair qui ne serait pas la somme de deux premiers ou au moins un ensemble de dimension strictement comprise entre le dénombrable et le continu) est suffisant pour prouver la fausseté des énoncés respectifs.
Dans le cas de l'indécidabilité d'un énoncé, on ne peut rien dire de l'existence d'un contre-exemple.

En tout cas, en ce qui concerne Goldbach et par ce que tu viens de dire, si Goldbach est indécidable, c'est qu'elle est vraie. Car si elle est fausse, il existe un contre exemple et donc il est possible de l'exhiber pour prouver la fausseté de Goldbach. Ce qui montre qu'elle n'est pas indécidable.

[invited37a86e7]

Je pense que tu commets l'erreur de raisonnement que je lève dans mon post précédent et qui consiste à exclure le tiers que j'ai choisi de ne pas exclure (tu n'aimes pas le vert ).

[Sylvestre]

Je pense que tu commets l'erreur de raisonnement que je lève dans mon post précédent et qui consiste à exclure le tiers que j'ai choisi de ne pas exclure (tu n'aimes pas le vert ).

En fait, je ne suis pas d'accord avec toi. J'ai expliqué un peu ce que je voulais dire par là dans le poste numéro 40. On peut garder le tiers exclu dans un "modèle" car c'est le seul endroit où la vérité à un sens. Mais dans une "théorie" qui n'est que manipulation de symbole, il n'y a que la notion de démontrabilité, dans laquelle on ne parle jamais de vérité. Dans une théorie, il y a des propositions démontrables, des propositions réfutables et des propositions indécidables.
Par exemple, pour si on prend comme théorie, les axiomes de la géométrie sans prendre l'axiome des parallèle, alors :
"Par deux points passe toujours une droite" est démontrable (c'est en fait un axiome)
"Il n'y a qu'un seul point " est réfutable (car on a un axiome qui dit qu'il existe trois points non alignés)
et "L'axiome des parallèles" est indécidables.

Le fait d'être indécidable se vérifie par le fait qu'il existe un modèle dans lequel la proposition est vraie et un autre dans laquelle elle est fausse. Dans cet exemple, les modèles sont "la géométrie du plan euclidien" et "la géométrie sphérique".

[invited37a86e7]

Le fait d'être indécidable se vérifie par le fait qu'il existe un modèle dans lequel la proposition est vraie et un autre dans laquelle elle est fausse. Dans cet exemple, les modèles sont "la géométrie du plan euclidien" et "la géométrie sphérique".

D'accord. A ce moment là, ça veut donc dire que si Goldbach est indécidable dans T, c'est qu'il existe un "modèle" ou la proposition est vraie et un autre ou elle est fausse.

En fait c'est ce que je raconte de façon très maladroite, je concède.
En supposant que, comme tu le dis très justement, dans une théorie on ait:
(1) des propositions Démontrables
(2) des propositions Réfutables
(3) des propositions Indécidables (avec un grand 'I') c'est à dire non Démontrables et non Réfutables
De plus, j'appliques:
(4) p Démontrable => p Vraie
(5) p Réfutable => p Fausse
Bon le soucis c'est que j'ai également appelé indécidables (là j'ai mis un petit 'i') les propositions dont je ne peux rien dire de la véracité (je dis qu'elles sont ni vraies ni fausses).
Je veux bien reconnaître que ça réalise l'amalgame avec l'Indécidabilité dans la théorie et que ça ne respecte pas un modèle logique dual. Ce qui est pratique c'est que:
p indécidable => p Indécidable (par contraposition de (4) et (5))
Mais c'est un amalgame bien casse-gueule aussi, c'est vrai, parceque du coup il faut être extrêmement prudent lorsqu'on fait appel à la négation de "Vrai" et de "Faux".

Donc coupons court à ce beau mélange !!!

Dans le post #40, tu dis:

Donc si Goldbach est fausse, alors elle est réfutable.
Par contraposé, si Goldbach est non réfutable, alors la conjecture est vraie. En particulier, si elle est indécidable, elle est vraie.

Si j'applique ce raisonnement à l'hypothèse du continu (indécidable dans la théorie des ensembles) j'en déduit qu'elle est vraie. Pourtant il est parfaitement cohérent de considérer l'existence d'un ensemble de cardinalité strictement intermédiaire entre le dénombrable et le continu.
Comment expliques-tu cela ?

[Sylvestre]

Si j'applique ce raisonnement à l'hypothèse du continu (indécidable dans la théorie des ensembles) j'en déduit qu'elle est vraie. Pourtant il est parfaitement cohérent de considérer l'existence d'un ensemble de cardinalité strictement intermédiaire entre le dénombrable et le continu.
Comment expliques-tu cela ?

Dans le cas de l'hypothèse du continu (HC), le raisonnement que j'ai fait pour Goldbach ne s'applique plus. Ce qui se passe avec Goldbach est que si elle est fausse, alors il existe un contre-exemple que l'on peut trouver par un nombre fini d'opérations. Cela n'est pas le cas pour l'HC. Donc on ne peut pas appliquer le même raisonnement, car, même si HC est fausse, il n'existe pas d'algorithme permettant de découvrir un contre-exemple à HC en un temps fini. Cela est du au fait que l'on dépasse le dénombrable qui est le seul domaine qu'un algorithme puisse traiter.

[invited37a86e7]

Merci pour tes interventions qui éclairent ma lanterne, mais je suis toujours un peu dans le brouillard

La fausseté de la conjecture de Goldbach repose sur l'existence d'un entier pair qui n'est pas la somme de deux premiers.
La fausseté de l'hypothèse du continu repose sur l'existence d'un ensemble E tel que Aleph0<Card(E)<2^Aleph0.

De mon point de vue, ça veut dire:
existence d'un entier pair qui n'est pas la somme de deux premiers => fausseté de la conjecture de Goldbach (1)
existence d'un ensemble E tel que Aleph0<Card(E)<2^Aleph0 => fausseté de l'hypothèse du continu (2)

Tu dis: si la conjecture de Goldbach est fausse alors c'est qu'il existe un entier pair qui n'est pas la somme de deux premiers (un contre exemple)
traduction:
fausseté de la conjecture de Goldbach => existence d'un entier pair qui n'est pas la somme de deux premiers (3)
Donc ça transforme l'implication (1) en une equivalence.

Par contre, tu refuses d'en faire de même avec l'implication (2). C'est à dire d'écrire:
fausseté de l'hypothèse du continu => existence d'un ensemble E tel que Aleph0<Card(E)<2^Aleph0 (4)

Je ne vois pas pourquoi tu différencies les deux cas. Personnellement, je pense que les deux cas sont similaires et que (3) est (4) sont abusives.

[Sylvestre]

fausseté de la conjecture de Goldbach => existence d'un entier pair qui n'est pas la somme de deux premiers (3)
Donc ça transforme l'implication (1) en une equivalence.

Par contre, tu refuses d'en faire de même avec l'implication (2). C'est à dire d'écrire:
fausseté de l'hypothèse du continu => existence d'un ensemble E tel que Aleph0<Card(E)<2^Aleph0 (4)

Je ne vois pas pourquoi tu différencies les deux cas. Personnellement, je pense que les deux cas sont similaires et que (3) est (4) sont abusives.

Je ne fais pas de différence :
La fausseté de Goldbach est équivalente à l'existence d'un premier tel que ...
et
La fausseté de HC est équivalente à l'existence d'un ensemble de cardinal ...

Ce qui change c'est que dans le cas de Goldbach, il existe un programme d'ordinateur (que je peux te donner si tu veux) qui permet de trouver le contre-exemple en un temps fini.

Par contre dans le cas de HC, il n'est pas possible de le faire.

Cela fait que pour Goldbach, sa fausseté implique sa réfutabilité, car le programme est alors une démonstration de sa fausseté.
On a pas de programme similaire pour HC.

[invited37a86e7]

Ok. Je comprends ... enfin
Du coup je comprends aussi à retardement le post #20 de matthias qui dit:

"Pour la conjecture de Goldbach, si elle est fausse alors il est possible de trouver un contre-exemple donc ce n'est pas un indécidable. Par contraposée, si c'est un indécidable alors elle est vraie.
Donc si on pouvait démontrer que c'est un indécidable on démontrerait en même temps qu'elle est vraie, et elle ne serait pas indécidable.
Conclusion : si la conjecture de Goldbach est indécidable, alors la proposition (la conjecture de Goldbach est indécidable) est elle-même indécidable.
Bizarre.
Y aurai-t'il une faille dans ce raisonnement ?"

Peux-tu répondre à cet question ? merci encore pour tes explications.

[Sylvestre]

Donc si on pouvait démontrer que c'est un indécidable on démontrerait en même temps qu'elle est vraie, et elle ne serait pas indécidable.
Conclusion : si la conjecture de Goldbach est indécidable, alors la proposition (la conjecture de Goldbach est indécidable) est elle-même indécidable.
Bizarre.
Y aurai-t'il une faille dans ce raisonnement ?"

C'est ça !
Je ne vois pas de faille dans ton raisonnement.

Peux-tu répondre à cet question ? merci encore pour tes explications.

C'est un plaisir, j'aime bien parler avec des gens qui s'intéresse à la logique.

[invited37a86e7]

Euh.. je reviens à la charge avec ces histoires de logique ...
En fait, nous en étions arrivé à la conclusion que "la conjecture de Goldbach est indécidable" est indécidable.
Donc je peux batir une théorie T1 ayant comme nouvel axiome:
"la conjecture de Goldbach est indécidable" est faux (1)
Auquel cas la conjecture de Goldbach est soit démontrable, soit réfutable. Ce qui veut dire qu'avec ce nouvel axiome je n'ai plus besoin de batir une théorie plus forte pour démontrer/réfuter la conjecture. Cette théorie pourrait être ZF + mon axiome (1).
Mais je peux aussi bâtir une théorie T2 ayant comme axiome:
"la conjecture de Goldbach est indécidable" est vrai (2)
Mais dans ce cas, on a vu que cela impliquait que la conjecture de Goldbach soit fausse, ce qui la rend décidable, ce qui contredit mon nouvel axiome. T2 est donc incohérente. Donc je dois abandonner cette théorie.

Du coup, avec T1 j'ai un outils suffisant pour pouvoir soit démontrer, soit réfuter la conjecture.

Ou est mon erreur ?

[Sylvestre]

Euh.. je reviens à la charge avec ces histoires de logique ...
En fait, nous en étions arrivé à la conclusion que "la conjecture de Goldbach est indécidable" est indécidable.

J'ai un peu réféchi avant de rédiger cette réponse et je crois que nous n'avons pas été suffisamment précis. Nous avons fait un mélange entre "théorie" et "modèle". Le raisonnement que nous avons fait était : Si la conjecture de Goldbach est indécidable dans la théorie de Peano, alors, dans le modèle des entiers standards qui est IN, Goldbach est vraie. Mais en fait, cela n'est pas une preuve, c'est seulement la constatation que Goldbach est vraie dans un modèle particulier et cela n'est pas une preuve dans la théorie de Peano (même si cette "preuve" aurait une très grande valeur, puisque c'est généralement dans IN qu'on la considère). Donc la conclusion à laquelle nous étions arrivé qui disait :

Si Goldbach est indécidable
alors "Golbach est indécidable" est indécidable

n'est pas établie (je n'ose dire "prouvée"). Cette preuve tenait à une particularité de IN qui la possibilité de l'énumération par programme de toutes les possibilités. Ce qui n'est pas une propriété de tous les modèles de la théorie de Peano.

Comme j'ai écrit ce premier paragraphe en dernier, il faut voir la suite comme un raisonnement sous l'hypotèse que "La conjecture de Goldbach est indécidable" est indécidable dans Peano.

Donc je peux batir une théorie T1 ayant comme nouvel axiome:
"la conjecture de Goldbach est indécidable" est faux (1)

Dans une théorie, on ne devrait jamais parler de vérité, mais ce que tu peux faire est dire que "la conjecture de Goldbach est décidable" est un axiome.

Auquel cas la conjecture de Goldbach est soit démontrable, soit réfutable. [...] Cette théorie pourrait être ZF + mon axiome (1).

Je ne sais pas trop si cela serait une théorie cohérente, car ce n'est pas sûr que Goldbach soit décidable dans ZF.

Mais je peux aussi bâtir une théorie T2 ayant comme axiome:
"la conjecture de Goldbach est indécidable" est vrai (2)

Même remarque, il ne faut pas parler de vérité. Ce que tu dois faire est de prendre cette proposition comme axiome.

Mais dans ce cas, on a vu que cela impliquait que la conjecture de Goldbach soit fausse

(Je pense que tu as voulu dire "vraie")

, ce qui la rend décidable, ce qui contredit mon nouvel axiome. T2 est donc incohérente.

Avec ce que j'ai écrit plus haut, plus ton axiome T2, nous avons que Goldbach est vraie dans IN, mais cela n'est pas une preuve dans la théorie de Peano.

Tout ce que je viens d'écrire, je viens de le découvrir grâce à ta question, donc je ne suis pas encore complètement sûr de moi. Jusqu'à maintenant, j'étais persuader que "Goldbach est indécidable" est indécidable. Mais il me semble maintenant que nous n'avons pas prouvé ceci. Il faut que nous y réfléchissions un peu plus ensemble. Si tu vois quelque chose de faux dans ce que je viens d'écrire, n'hésite pas à le dire. Je m'intéresse beaucoup à cette question.

[invited37a86e7]

Citation:
"Mais dans ce cas, on a vu que cela impliquait que la conjecture de Goldbach soit fausse"

(Je pense que tu as voulu dire "vraie")

effectivement, sinon côté comprehension, c'est retour case départ

Avec ce que j'ai écrit plus haut, plus ton axiome T2, nous avons que Goldbach est vraie dans IN, mais cela n'est pas une preuve dans la théorie de Peano.

Tout ce que je viens d'écrire, je viens de le découvrir grâce à ta question, donc je ne suis pas encore complètement sûr de moi. Jusqu'à maintenant, j'étais persuader que "Goldbach est indécidable" est indécidable. Mais il me semble maintenant que nous n'avons pas prouvé ceci. Il faut que nous y réfléchissions un peu plus ensemble. Si tu vois quelque chose de faux dans ce que je viens d'écrire, n'hésite pas à le dire. Je m'intéresse beaucoup à cette question.

A vrai dire je suis d'accord avec toi étant donné que je n'ai pas franchement mieux à proposer !! Pour ma part, il va falloir que j'aille faire un tour du côté de la théorie des modèles dont j'ignore tout

[invitec56084b8]

Je reviens sur la classification de départ
Dans un système d'axiomes logiques soit A une proposition et nonA sa négation
A est démontrable et nonA est démontrable= A est contradictoire
A est démontrable et nonA n'est pas démontrable =A est vraie
A n'est pas démontrable et nonA est démontrable =A est fausse
A n'est pas démontrable et nonA n'est pas démontrable = A est indécidable

[Médiat]

Bonjour,

Que veux dire, pour vous, dans le post précédent "A est vrai" et "A est faux" ?

Considerez-vous que vos 4 affirmations sont valides dans toutes les logiques, où seulement dans certaines ? Lesquelles ?

[Médiat]

Je n'ai pas lu la totalité des posts précédents, mais comme ce fil remonte à la surface je suis contraint de signaler qu'il y a beaucoup de choses à redire sur certaines interventions.

Pour être clair : la phrase "Si la conjecture de Golbach est indécidable, alors elle est vraie" est, en soi, inacceptable car porteuse de toutes les confusions que l'on peut lire sur ce fil.
La phrase correcte est "Si la conjecture de Golbach est indécidable, alors elle est vraie dans le modèle standard de l'arithmétique" (c'est à dire dans IN), avec comme sous entendu qu'elle forcément fausse dans d'autres modèles.

Une explication plus complète est disponible là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1980944

[invitec56084b8]

Bonjour,

Que veux dire, pour vous, dans le post précédent "A est vrai" et "A est faux" ?

Considerez-vous que vos 4 affirmations sont valides dans toutes les logiques, où seulement dans certaines ? Lesquelles ?

A est vrai et A est fausse sont ainsi définies par la démontrabilité, la négation,la conjonction et
Il s'agit de logique binaire, une exposition des axiomes peut se lire par exemple dans Logique Mathématique (René Cori,Daniel Lascar)

[leg]

bonjour
mais comme prouver qu'elle est indécidable, est aussi difficile , voir plus, que de prouver qu'elle est vrai, alors on peut continuer à chercher de ce côté...
peut être qu'un jour on va s'apercevoir que c'est une conséquence du T.F.A et donc de la factorisation, d'où si elle était fausse, elle mettrait à mal ce théorème ...
on peut aussi remarquer, que le modulo k30 est toujours décomposable en somme de deux premiers et que le nombre de couples P, qui le décompose augmente sensiblement au fur et à mesure que k, tend vers l'infini :k entier naturel >0
peut être qu'il aurait une piste de ce côté car si il est toujours décomposable, alors il en est de même que K6, et C G est vrai...

[Médiat]

A est vrai et A est fausse sont ainsi définies par la démontrabilité, la négation,la conjonction

Si par définition vrai = démontrable, c'est que ce n'est pas une nouvelle notion, juste un mot de vocabulaire propre à tromper le monde !
En fait la notion de vrai/faux est définie au niveau des modèles, et c'est un théorème de la logique classique du premier ordre (le théorème de complétude de Gödel) qui permet d'affirmer que vrai = démontrable, et encore, à condition de savoir exactement ce que l'on veut dire quand on dit qu'une proposition est vraie sans préciser dans quel modèle, d'où ma question.

Quand vous parlez de logique binaire, je supose que vous parlez de la logique classique du premier ordre (il y a de nombreuses logiques binaires).

[invitec56084b8]

Si par définition vrai = démontrable, c'est que ce n'est pas une nouvelle notion, juste un mot de vocabulaire propre à tromper le monde !
En fait la notion de vrai/faux est définie au niveau des modèles, et c'est un théorème de la logique classique du premier ordre (le théorème de complétude de Gödel) qui permet d'affirmer que vrai = démontrable, et encore, à condition de savoir exactement ce que l'on veut dire quand on dit qu'une proposition est vraie sans préciser dans quel modèle, d'où ma question.

Quand vous parlez de logique binaire, je supose que vous parlez de la logique classique du premier ordre (il y a de nombreuses logiques binaires).

Logique classique du premier ordre bien sûr
Dans la théorie des modèles il faut introduire un peu de théorie des ensembles puisque, si j'ai bien compris, la validité est définie par l'appartenance à un ensemble.
La démontrabilité exige moins d'axiomes.La logique du premier ordre plus les axiomes de Peanoont permis à Gödel de découvrir l'indécidabilité.Effectivement le mot vrai prête donc à confusion
Restons au niveau de la démontrabilité: A démontrable et nonA non démontrable = A théorème ; A non démontrable et nonA démontrable = nonA théorème par exemple.
Ce n'est qu'une question de mot et le mot vrai ou valide appartient à la théorie des modèles qui exige plus d'axiomes que la théorie de la démonstration