Grâce aux remarques de Mediat, je vais essayer d'être plus précis. Il me corrigera au cas où.
Ce que je veux dire c'est que si la conjecture de Goldbach est indécidable dans la théorie de Peano, alors elle est vraie dans le modèle des nombres entiers.
La raison à cela est que si Goldbach est fausse dans le modèle
La première est correcte c'est correct ; mais la raison profonde ce n'est pas que l'on pourrait trouver le contre exemple dans un temsp fini mais que l'on ne peut pas avoir CG fausse dans IN et vraie dans un autre modèle, car IN est un segment initial de tous les modèles de Péano, et donc le contre-exemple existerait dans tous les modèles (il y a une toute petite astuce pour démontrer cela, car a priori, il y a deux quantificateurs universels dans non CG)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour, je me permets de remonter ce topic vieux de près de 2 ans, mais je suis tombé dessus en (presque) premier choix de google
Alors il faut comprendre que la conjecture de Goldbach ne peut être indécidable dans les naturels, simplement car me théorie des naturels dans le langage de l'arithmétique est complet (plus généralement, en ayant choisi un modèle, sa théorie est complète. Les théorèmes sont les énoncés vrais partout, les indécidables ceux pas vrais dans au moins l'un des modèles, et faux dans au moins un autre modèle).
Alors, l'argument utilisé est le suivant (je ne vais pas vraiment écrire des maths, juste le concept pour que la majorité saisissent): je me place dans une théorie du premier ordre qui permet d'énoncé la conjecture de Goldbach (par exemple les énoncés usuels qui définissent l'arithmétique, mais ça peut être moins d'axiomes) et où chaque modèle "contient" les naturels (j'ai mis des guillemets pour les théoriciens des modèles. Je veux simplement dire que le plus "petit" modèle est l'ensemble des naturels).
Dans cette théorie, imaginons que je prouve que Goldbach est indécidable (j'aurai prouvé qu'il existe un modèle où Goldbach est vraie, et un autre où Goldbach est fausse). Qu'en déduire ? Comme tous mes modèles "contiennent" les naturels (que c'est "le plus petit" modèle), je ne pourrai pas trouver de nombre pair supérieur à 4 qui ne soit pas la somme de 2 nombres premiers. Par conséquent, la conjecture de Goldbach serait vraie !
C'est un jeu logique de théorie des modèles, et souvent on joue trop avec les termes en oubliant dans quoi ils prennent leur sens. Dans un modèle donné, tout énoncé est soit vrai, soit faux (tiers exclu). La notion "d'indécidabilité" (en logique et pas algorithmiquement) se place un cran au dessus, et tient compte, par exemple pour l'arithmétique, de l'existence de modèles non-standards.
