Représentation de SO(2)

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous,

Je souhaiterai savoir pourquoi une représentation du groupe SO(2) est la matrice [cos(x) sin(x); sin(x) cos(x)].

Pour moi, les éléments de SO(2) sont précisément ces éléments, il ne s'agit pas d'une représentation (la définition que j'ai d'une représentation de G (groupe) dans E (espace vectoriel), c'est un homomorphisme qui va de G dans GL(E).

Donc pour moi il faudrait des fonctions qui à la matrice [cos(x) sin(x); sin(x) cos(x)] associent une fonction de GL(E) avec E un espace vectoriel à définir.

Pourriez vous m'éclairer ?

Merci.
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[invite5357f325]

L'application identite va bien de G dans GL_2(R^2) non ? Que veux tu de plus ?

[invite8f6d0dd4]

Hmmm ok.

Effectivement si on a pris l'application identité ça colle (désolé ça n'était pas évident pour moi).

Du coup dans ce cas précis, l'élément de SO(2) et sa représentation sont confondues, c'est un peu un "cas particulier" non ?
Car l'élément c'est l'application linéaire qui va de R² dans R² : [cos(x) -sin(x); sin(x) cos(x)] et sa représentation c'est aussi l'application linéaire qui va de R² dans R² : [cos(x) -sin(x); sin(x) cos(x)].

Merci.

[invite8f6d0dd4]

En fait j'ai du mal à voir quelque chose.

Pour parler d'identité, ça suppose que les ensembles de départ et d'arrivée soient les mêmes non ?

Autrement dit, ici vous assimilez GL(R²) à SO(2).

Mais on a des éléments de GL(R²) qui ne sont pas dans SO(2) non ?

Ou alors, il suffit pour parler de l'identité que l'ensemble de départ soit inclu dans l'espace d'arrivée, et du coup ici ça colle ?
En l'occurence SO(2) est inclus dans GL(R²).

Ainsi, on utilise en fait l'identité sur SO(2).

Vous êtes bien d'accord avec moi que SO(2) est inclus dans GL(R²) ? (je suis pas du tout à l'aise avec les notions sur les ensembles en maths).

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

(Je ne connais pas beaucoup les representations. )

Effectivement j'aurais du dire l'inclusion, autant pour moi, c'est l'identite restreinte a SO_2. Et oui SO(2) est bien dans GL_2(R).

Pour repondre a ta question : si tu connais un peu la theorie des groupes, tu sais que tout groupe finit peut se voir comme un sous-groupe de permutations. Une representation lineaire va "approximer" un groupe comme un groupe de matrices.
Mais si tu as deja un groupe de matrices pas besoin de l'approximer ... C'est bien un cas particulier

[invite8f6d0dd4]

Ok merci.

J'aurai une autre question : cf mon image



Dans cet exemple, on s'intéresse donc à G3, le groupe des permutations de 3 éléments.

J'aurai diverses questions :

• Pourquoi on ne s'intéresse qu'à e, t et c ?

Est-ce parce que tout élément du groupe peut s'écrire comme un produit de t et c ?
Du coup si on connait le résultat de la représentation sur t et c, on la connait sur tout le groupe en utilisant les propriétés de l'homomorphisme.

En revanche "e", l'identité ne peut pas s'écrire comme produit de t et c du coup il faut le traiter "à part".

• Pourquoi on choisit ces formes précises de matrices pour les images ?

Est-ce parce qu'en prenant celles-ci , on est sur d'avoir une seule et même image par élément de G ?
Ce que je veux dire c'est que avec ce choix là, on est sur que RO(I*t)=RO(t) avec ce choix de matrice par exemple ?
Du coup on a prit "j" car on est sur qu'en faisant RO(c*c*c) on retombe bien sur RO(I).

Ah et aussi, si on avait pas donné le résultat, pour ce groupe là par exemple il aurait été facile de le faire ou il faut un peut se creuser la tête (histoire que je sache à quel degré on se familiarise avec la notion si vous voyez ce que je veux dire...).

Êtes vous d'accord avec moi ?

Mes questions peuvent vous sembler basique mais je suis pas à l'aise du tout avec les notions de groupes & co en maths.

Merci !

[albanxiii]

Bonjour,

Je souhaiterai savoir pourquoi une représentation du groupe SO(2) est la matrice [cos(x) sin(x); sin(x) cos(x)].

Pour moi, les éléments de SO(2) sont précisément ces éléments, il ne s'agit pas d'une représentation (la définition que j'ai d'une représentation de G (groupe) dans E (espace vectoriel), c'est un homomorphisme qui va de G dans GL(E).

Soit un -espace vectoriel de dimension finie .
Les endomorphismes de ne sont pas les mêmes "choses" que les éléments de . On peut les identifier si on le désire, car il existe un isomorphisme entre les deux ensembles (une fois qu'on a choisi une base, etc.).

Ici, vous êtes dans un cas similaire. D'un côté des opérations de symétrie, de l'autre des matrices.

@+

[invite8f6d0dd4]

Très bien merci.

Je souhaiterai juste avoir une confirmation sur mon dernier message afin de savoir si j'ai compris ou pas.

Bonne journée.

[invite93e0873f]

Ok merci.

J'aurai une autre question : cf mon image

Pièce jointe 278488

Dans cet exemple, on s'intéresse donc à G3, le groupe des permutations de 3 éléments.

J'aurai diverses questions :

• Pourquoi on ne s'intéresse qu'à e, t et c ?

Est-ce parce que tout élément du groupe peut s'écrire comme un produit de t et c ?
Du coup si on connait le résultat de la représentation sur t et c, on la connait sur tout le groupe en utilisant les propriétés de l'homomorphisme.

En revanche "e", l'identité ne peut pas s'écrire comme produit de t et c du coup il faut le traiter "à part".

Dans un premier temps, on ne s'intéresse qu'à eux en raison du « qui engendrent » de l'énoncé. Donc oui, c'est parce que tout élément du groupe s'écrit comme produit de t et de c.

Si on a une représentation et que vous oubliez sa valeur sur tous les éléments du groupe sauf pour un ensemble générateur, alors oui, vous pouvez redécouvrir la représentation totale en utilisant les propriétés de l'homomorphisme. (Voir la prochaine question)

L'identité peut possiblement s'écrire via t et c, par exemple ici . Or, via un homomorphisme, l'identité du groupe de départ est envoyée sur l'identité du groupe d'arrivée, donc associer la matrice identité ici à e est obligatoire, sans considération des autres associations.

• Pourquoi on choisit ces formes précises de matrices pour les images ?

Est-ce parce qu'en prenant celles-ci , on est sur d'avoir une seule et même image par élément de G ?
Ce que je veux dire c'est que avec ce choix là, on est sur que RO(I*t)=RO(t) avec ce choix de matrice par exemple ?
Du coup on a prit "j" car on est sur qu'en faisant RO(c*c*c) on retombe bien sur RO(I).

On prend ces formes précises car celles-ci donne (après vérification) une représentation, parmi tant d'autres auxquelles nous pourrions nous intéresser ; « c'est elle le héros » pour ce problème précis. Encore faut-il vérifier qu'il s'agit d'une représentation ; en ce sens, les deux matrices données dans l'image ne sont pas totalement arbitraires. (Revoir la question précédente)

Une représentation est en particulier une fonction univaluée, vérifiant de surcroît la propriété d'être un homomorphisme. Du fait qu'un élément g du groupe admette plusieurs écritures en t et en c, je comprends qu'il n'est pas évident de voir que la matrice associée à g (sachant celles associées à t et à c) soit la même pour toutes ces écritures ; l'unicité fait partie des exigences d'une représentation. Un exemple du pourquoi les deux matrices écrites dans l'image ne sont pas arbitraires, sans être les seules possibles.

Ah et aussi, si on avait pas donné le résultat, pour ce groupe là par exemple il aurait été facile de le faire ou il faut un peut se creuser la tête (histoire que je sache à quel degré on se familiarise avec la notion si vous voyez ce que je veux dire...).

Tout le groupe des matrices inversibles 2x2 agit sur l'ensemble des représentations (de n'importe quel groupe G) dans les matrices 2x2 via les transformations de similitudes. Cela indique que si une telle représentation existe, il y en a probablement beaucoup d'autres. Pour G quelconque, il n'est pas assuré qu'une représentation 2x2 non triviale existe, mais si oui, la phrase précédente indique qu'il y a de l'espace pour en rechercher.

Pour le reste, sans utiliser l'artillerie lourde, il faut toujours penser au groupe G précis considéré. Ici, t et c engendrent le groupe et ce sont des éléments d'ordre 2 et 3 respectivement. Identifions déjà des matrices 2x2 d'ordre 2 et 3. Ensuite, t et c commutent, donc trouvons parmi les matrices précédentes deux matrices qui commutent. Via la liberté indiquée au paragraphe précédent, il est même possible de choisir une des matrices diagonales ; quelles contraintes ce choix impose-t-il sur l'autre matrice ? Vous voyez le genre de réflexion qu'on peut mener.