Base d'une intersection

[invite4308cf33]

Bonjour

Comment trouver la base de F inter G.
Avec F ayant pour base les vecteurs v1=(2,5,1) et v2=(3,2,0).
Et G ayant pour base les vecteurs w1=(1,4,2) et w2=(5,1,1).

Donc


La matrice correspondante au système (que je n'ai pas explicitement écrit) est :


On tente d'échelonner :










On trouve finalement :


On en déduit donc :

Et

On a donc
avec évidemment mu_1 réel.

Ainsi, peut-t-on dire que (4,-2,-1) est une base de l'intersection ? J'ai peut-être sauté des étapes...
Est-ce juste ?
Je vous remercie d'avance
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[invite4308cf33]

J'avais fait des "intervalles" {} pour les ensembles mais elles ne sont pas passées...

[sylvainc2]

Je ne comprends pas comment tu as échelonner la matrice initiale (qui est correcte), en tout cas la bonne réponse est le vecteur (-7, 10, 4), Tu peux vérifier qu'il est dans F et G: 4(2,5,1) - 5(3,2,0) = 3(1,4,2) - 2(5,1,1) = (-7,10,4). Donc dim(F inter G)=1.

Il y a une autre facon de faire, puisqu'on on est dans R^3: F et G sont des plans vectoriels, leur intersection est soit un plan (si les deux plans sont confondus), soit une droite vectorielle (c'est le cas). On peut utiliser le produit vectoriel comme ceci:

v3 = v1 X v2 = (-2,3,-11), c'est un vecteur orthogonal au plan F.
w3 = w1 X w2 = (2,9,-19), il est orthogonal au plan G.

Alors w3 X v3 = (-42,60,24) = (-7,10,4) est orthogonal à w3 et v3 donc il est dans F et G.