Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation

[invite742b4aeb]

Bonjour,

Soit le gradient d'une transformation d'un corps élastique tel que l'on ait :



avec :

le tenseur des contraintes
des constantes
un multiplicateur de Lagrange

Dans ce cas, une base principale du tenseur des contraintes est-elle aussi une base propre du gradient de la transformation ?

On voit aisément qu'une base propre du gradient est une base principale du tenseur des contraintes mais la réciproque n'est pas évidente pour moi.

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invite57f37970]

Bonjour,
Il me semble que non, en général, d'un point de vue mathématique. Si Xi est un vecteur propre de F associé à la valeur propre alors Xi est aussi vecteur propre du tenseur des contraintes associé à la valeur propre . Dans le cas où on a deux valeurs propres de F distinctes telles que alors X1+X2 par exemple est vecteur propre du tenseur des contraintes pour la valeur propre mais n'est pas vecteur propre de F car .

Ton tenseur des contraintes ainsi défini n'est pas symétrique en général, est-ce normal ?

[invite742b4aeb]

Bonjour,

J'ai trouvé cette relation dans Nonlinear Elasticity : Theory and Applications. Il y est dit que pour tout corps élastique on a la relation :

.

Ensuite, si le corps élastique est isotrope, alors doit être isotrope. Les auteurs disent que pour un tenseur symétrique, le fait qu'il soit isotrope est équivalent à :

pour .

Cela doit être le cas pour puisque le tenseur des contraintes est symétrique.

On a donc que l'équation :



conserve la symétrie du tenseur des contraintes.

[invite57f37970]

D'accord mais c'est plutôt le gradient F qui me semblait non symétrique en général, mais je peux me tromper.

Si F et sigma sont bien symétriques alors sauf pinaillage mathématique signalé dans mon post précédent dû à une dégénérescence de valeurs propres qui a lieu pour sigma et pas pour F, on peut dire quand même dire que les bases propres coïncident car les 3 directions propres de F sont 3 directions propres de sigma. Et même dans le cas pathologique cité plus haut, je peux toujours prendre X1 et X2 comme vecteurs propres de sigma au lieu de X1+X2, et retrouver les mêmes directions propres pour F que sigma.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite742b4aeb]

En effet, le gradient F n'est pas symétrique en générale. Par contre, on a que et sont symétriques et que les directions principales de sont les directions propres du tenseur de Cauchy-Green gauche () et de celui de Cauchy-Green droit().

[invite57f37970]

Du coup ça doit être quelque chose de ce genre à la place de F dans la formule de sigma, non ?

[invite742b4aeb]

Non. Mais apparemment, dans la plupart des cas que l'on rencontre en élasticité non-linéaire (isotrope) F est symétrique.