Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation
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Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation



  1. #1
    JoLaMagouille

    Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation


    ------

    Bonjour,

    Soit le gradient d'une transformation d'un corps élastique tel que l'on ait :



    avec :

    le tenseur des contraintes
    des constantes
    un multiplicateur de Lagrange

    Dans ce cas, une base principale du tenseur des contraintes est-elle aussi une base propre du gradient de la transformation ?

    On voit aisément qu'une base propre du gradient est une base principale du tenseur des contraintes mais la réciproque n'est pas évidente pour moi.

    Merci d'avance pour vos réponses.

    -----

  2. #2
    QuarkTop

    Re : Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation

    Bonjour,
    Il me semble que non, en général, d'un point de vue mathématique. Si Xi est un vecteur propre de F associé à la valeur propre alors Xi est aussi vecteur propre du tenseur des contraintes associé à la valeur propre . Dans le cas où on a deux valeurs propres de F distinctes telles que alors X1+X2 par exemple est vecteur propre du tenseur des contraintes pour la valeur propre mais n'est pas vecteur propre de F car .

    Ton tenseur des contraintes ainsi défini n'est pas symétrique en général, est-ce normal ?

  3. #3
    JoLaMagouille

    Re : Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation

    Bonjour,

    J'ai trouvé cette relation dans Nonlinear Elasticity : Theory and Applications. Il y est dit que pour tout corps élastique on a la relation :

    .

    Ensuite, si le corps élastique est isotrope, alors doit être isotrope. Les auteurs disent que pour un tenseur symétrique, le fait qu'il soit isotrope est équivalent à :

    pour .

    Cela doit être le cas pour puisque le tenseur des contraintes est symétrique.

    On a donc que l'équation :



    conserve la symétrie du tenseur des contraintes.

  4. #4
    QuarkTop

    Re : Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation

    D'accord mais c'est plutôt le gradient F qui me semblait non symétrique en général, mais je peux me tromper.

    Si F et sigma sont bien symétriques alors sauf pinaillage mathématique signalé dans mon post précédent dû à une dégénérescence de valeurs propres qui a lieu pour sigma et pas pour F, on peut dire quand même dire que les bases propres coïncident car les 3 directions propres de F sont 3 directions propres de sigma. Et même dans le cas pathologique cité plus haut, je peux toujours prendre X1 et X2 comme vecteurs propres de sigma au lieu de X1+X2, et retrouver les mêmes directions propres pour F que sigma.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    JoLaMagouille

    Re : Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation

    En effet, le gradient F n'est pas symétrique en générale. Par contre, on a que et sont symétriques et que les directions principales de sont les directions propres du tenseur de Cauchy-Green gauche () et de celui de Cauchy-Green droit().

  7. #6
    QuarkTop

    Re : Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation

    Du coup ça doit être quelque chose de ce genre à la place de F dans la formule de sigma, non ?

  8. #7
    JoLaMagouille

    Re : Base Principale du Tenseur des Contraintes et base propre du Gradient d'une Transformation

    Non. Mais apparemment, dans la plupart des cas que l'on rencontre en élasticité non-linéaire (isotrope) F est symétrique.

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