Polarisation induite et coquille sphérique

[DuckDDR]

Bonjour à tous, alors voilà j'ai planché sur un exercice "libre" d'électromagnétisme (dont je n'ai pas la correction de fait...) et j'ai certains problèmes de compréhension (en supposant que mes résultats sont bons...). Le message risque d'être un peu long mais pour quelqu'un ayant un bon niveau en électromagnétisme cela devrait être assez simple... Je vous présente donc le problème, mes résultats et mes interrogations (que j'ai mis sous forme de "footnote" pour plus de clarté) dans l'espoir d'obtenir votre avis sur la chose:

Une charge ponctuelle est placée au centre d'une cavité sphérique de rayon creusée dans une sphère diélectrique de rayon externe et de susceptibilité . (On a donc ).

La première question consiste à déterminer l'induction électrique en tout point de l'espace et d'en déduire le champ électrique et la polarisation diélectrique .

J'ai supposé le diélectrique linéaire pour simplifier le problème et écrit le champ d'induction pour tout dans la base sphérique habituelle sous la forme où on aurait simplement pour et sinon. Cette formule suggère donc que possède les mêmes symétries et invariances que et qu'il est donc radial. On a donc quelque soit le milieu d'après l'équation de Maxwell-Gauss pour l'induction électrique

J'en ai déduit les résultats suivants:

- puisque nous sommes hors du diélectrique on a soit puisque par définition le champ électrique est simplement .

- dans le diélectrique supposé linéaire homogène et isotrope on a par définition soit on en déduit que et .

- les résultats sont les mêmes que pour puisque nous sommes hors du diélectrique.

Sachant cela la deuxième question consiste à déterminer les distributions de charges de polarisation:

d'après l'opérateur divergence en coordonnées sphériques



le fait d'écrire cela correspond à une polarisation radiale vu les symétries de est ce que ce n'est pas contradictoire avec le fait que le diélectrique est isotrope? Et est-ce que la notion d'homogénéité s'applique pour un champ vectoriel?

est-ce correcte de dire que l'on est "hors du diélectrique" alors que même si nous sommes bien extérieur au matériau nous sommes finalement "dans" la coquille...

ensuite il y a une troisième et dernière question qui consiste à retrouver la valeur de dans le diélectrique par le théorème de Gauss et "d'interpréter physiquement les deux termes obtenus", j'ai donc considéré le flux du champ électrique et en disant qu'il était égal et je retrouve le même résultat... qui ne comporte qu'un seul terme... Une idée?

Merci d'avance pour l'aide que vous pourriez m'apporter!
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[QuarkTop]

Bonjour,

1) L'isotropie du diélectrique se traduit par le fait que la susceptibilité est un scalaire au lieu d'être une matrice 3x3 agissant sur le champ électrique. Ou dit autrement, pour un diélectrique isotrope la présence d'un champ électrique donne la seule direction privilégiée dans le matériau, que le vecteur polarisation est obligé de suivre par symétrie. L'homogénéité du diélectrique, elle, se traduit par le fait que la susceptibilité ne dépend pas du point.

2) Oui car il n'y a de polarisation que dans le diélectrique lui-même.

3) Je vois deux termes dans ta formule.

[DuckDDR]

Bonjour à tous,

Merci pour tes réponses QuarkTop! Les et ont comblé mes lacunes. Mais pour la je crois qu'on s'est mal compris.

La formule non calculée contient effectivement deux termes (densité surfacique de charge de polarisation et la charge ponctuelle) mais une fois développée sous la forme finale il n'y a bien qu'un seul terme, or la question laisse sous entendre que la formule finale devrait mettre en évidence deux contributions différentes au champ à mon sens... Qu'en penses-tu? Mais il est possible que l'énoncé soit ambiguë...

C'est une des raisons pour lesquelles j'ai voulu demander de l'aide sur le forum puisque ne voyant pas ces deux termes j'ai évidemment remis en question mes résultats...

D'autant plus q'une autre interrogation me vient. Je m'explique: lors du même type d'étude pour une sphère pleine diélectrique polarisée uniformément (de rayon ) seule, à l'intérieur du matériau (et à l'extérieur aussi d'ailleurs) on trouve que le champ électrique résultant dépend de la polarisation:

Pour rappel et

Et je ne vois donc pas pourquoi dans ce cas la polarisation intervient explicitement dans l'expression du champ alors qu'elle n'intervient pas dans le cas de la coquille, comme si finalement le champ était parfaitement indépendant du type de polarisation et ça me tracasse...
Ma piste de réflexion: dans le cas de la coquille la charge ponctuelle crée un champ électrique qui polarise la matériau, dans le cas de la sphère pleine que l'on suppose polarisée, c'est la polarisation qui crée le champ électrique. Dans un cas on induit une polarisation dans l'autre un champ électrique...

Donc si quelqu'un peu m'aider surtout sur ce dernier point "je suis tout ouïe"! Merci de votre attention et encore merci à toi QuarkTop!

[QuarkTop]

La formule non calculée contient effectivement deux termes (densité surfacique de charge de polarisation et la charge ponctuelle) mais une fois développée sous la forme finale il n'y a bien qu'un seul terme, or la question laisse sous entendre que la formule finale devrait mettre en évidence deux contributions différentes au champ à mon sens... Qu'en penses-tu? Mais il est possible que l'énoncé soit ambiguë...

Moi j'ai l'impression que la séparation en un terme sans susceptibilité et un terme proportionnel à la susceptibilité répond bien à la question en distinguant le champ d'origine extérieure dû à la charge libre et le champ induit en réponse dans le diélectrique. D'ailleurs je crois que tu as un dénominateur en trop dans ta formule non calculée.

Ma piste de réflexion: dans le cas de la coquille la charge ponctuelle crée un champ électrique qui polarise la matériau, dans le cas de la sphère pleine que l'on suppose polarisée, c'est la polarisation qui crée le champ électrique. Dans un cas on induit une polarisation dans l'autre un champ électrique...

Je verrais ça pareil, dans le cas de la coquille la polarisation est induite par la charge ponctuelle, tandis que dans le cas de la sphère on suppose que le diélectrique possède une polarisation spontanée, qui est source du champ électrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[DuckDDR]

D'ailleurs je crois que tu as un dénominateur en trop dans ta formule non calculée.

Mais oui bonne remarque je me suis trompé sur mon théorème de Gauss, je détaille pour la "postérité":

donc d'après le théorème de la divergence moi j'avais au dénominateur... et ça change tout... J'obtient du coup avec un champ radial et une sphère concentrique à la distribution comme surface de Gauss:

soit et on obtient bien...

le champ d'origine extérieure dû à la charge libre et le champ induit en réponse dans le diélectrique.

En mettant au même dénominateur on trouve enfin qui est bien identique au même champ déterminé lors de la première étude en utilisant les propriétés de l'induction électrique .

Je verrais ça pareil, dans le cas de la coquille la polarisation est induite par la charge ponctuelle, tandis que dans le cas de la sphère on suppose que le diélectrique possède une polarisation spontanée, qui est source du champ électrique.

Parfait je suis rassuré alors!



Tout est réglé du coup! Merci pour tout QuarkTop, ces histoires de diélectriques me paraissent beaucoup moins obscures maintenant! Bonne continuation et encore merci!