Bonjour à tous, alors voilà j'ai planché sur un exercice "libre" d'électromagnétisme (dont je n'ai pas la correction de fait...) et j'ai certains problèmes de compréhension (en supposant que mes résultats sont bons...). Le message risque d'être un peu long mais pour quelqu'un ayant un bon niveau en électromagnétisme cela devrait être assez simple... Je vous présente donc le problème, mes résultats et mes interrogations (que j'ai mis sous forme de "footnote" pour plus de clarté) dans l'espoir d'obtenir votre avis sur la chose:
Une charge ponctuelleest placée au centre d'une cavité sphérique de rayon
creusée dans une sphère diélectrique de rayon externe
et de susceptibilité
. (On a donc
).
La première question consiste à déterminer l'induction électriqueen tout point de l'espace et d'en déduire le champ électrique
et la polarisation diélectrique
.
J'ai supposé le diélectrique linéaire pour simplifier le problème et écrit le champ d'induction pour toutdans la base sphérique habituelle sous la forme
où on aurait simplement
pour
et
sinon. Cette formule suggère donc que
possède les mêmes symétries et invariances que
et qu'il est donc radial. On a donc quelque soit le milieu d'après l'équation de Maxwell-Gauss pour l'induction électrique
J'en ai déduit les résultats suivants:
-puisque nous sommes hors du diélectrique on a
soit puisque par définition
le champ électrique est simplement
.
-dans le diélectrique supposé linéaire homogène et isotrope on a par définition
soit
on en déduit que
et
.
-les résultats sont les mêmes que pour
puisque nous sommes hors du diélectrique
.
Sachant cela la deuxième question consiste à déterminer les distributions de charges de polarisation:
d'après l'opérateur divergence en coordonnées sphériques
le fait d'écrire cela correspond à une polarisation radiale vu les symétries de
est ce que ce n'est pas contradictoire avec le fait que le diélectrique est isotrope? Et est-ce que la notion d'homogénéité s'applique pour un champ vectoriel?
est-ce correcte de dire que l'on est "hors du diélectrique" alors que même si nous sommes bien extérieur au matériau nous sommes finalement "dans" la coquille...
ensuite il y a une troisième et dernière question qui consiste à retrouver la valeur de
dans le diélectrique par le théorème de Gauss et "d'interpréter physiquement les deux termes obtenus", j'ai donc considéré le flux du champ électrique et en disant qu'il était égal
et je retrouve le même résultat... qui ne comporte qu'un seul terme... Une idée?
Merci d'avance pour l'aide que vous pourriez m'apporter!
-----