A côté de chaque rationnel il y a un irrationnel

[invite0731164c]

Bonjour,

Je comprends que la densité de Q dans R implique qu'il y a un rationnel arbitrairement proche d'un irrationnel, mais est-ce que le fait que l'on puisse toujours trouver un irrationnel arbitrairement proche d'un rationnel vient aussi de la densité de Q dans R?

Merci de vos éclercissements.
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[invite93e0873f]

Non.

Par analogie, considérons . C'est un ensemble (ouvert) dense dans les réels, de sorte que de chaque réel (et surtout, de chaque entier relatif) se trouve un élément de A qui lui soit arbitrairement près. Ça ne tient pas dans l'autre sens : tout élément de A se trouve à une distance strictement positive de .

C'est la densité de dans qui explique votre second énoncé. En termes des rationnels, cela revient à dire que l'ensemble des rationnels est totalement disconnexe : chaque composante connexe des rationnels ne possède qu'un seul élément.

[Médiat]

Bonjour,

Par souci de précision, l'expression "à côté de chaque rationnel il y a un irrationnel " n'a pas de sens