Méthode de Newton-Résolution d'une équation non lineaire

[invite588a8b70]

Salut,

Il y a ce problème qui me casse la tête depuis deux jours ou on applique la méthode de newton à un polynôme cubique:

, et on nous demande de

1-démontrer géométriquemnt que si deux racine coïncide, alors il ya une valeur initiale pour la quelle la méthode échouera (sauf la racine double biensur)
2- expliquez pourquoi il existe un nombre infini de valeurs initiales pour les quelle la méthode de newton échouera si les racine sont distinctes???

je xherhce juste un indice pour y commencer tant que j'ai remarqué géométriquement que la méthode diverge même pour des valeurs très proche de la racine simple...
Merci d'avance pour votre aide
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[phys4]

Bonjour,
Ceci est curieux :

j'ai remarqué géométriquement que la méthode diverge même pour des valeurs très proche de la racine simple...
Merci d'avance pour votre aide

Pour des racines simples, la méthode est très efficace si l'on part d'un point assez proche de la racine

Il y a ce problème qui me casse la tête depuis deux jours ou on applique la méthode de newton à un polynôme cubique:

, et on nous demande de

1-démontrer géométriquement que si deux racine coïncide, alors il y a une valeur initiale pour la quelle la méthode échouera (sauf la racine double bien sur)
2- expliquez pourquoi il existe un nombre infini de valeurs initiales pour les quelle la méthode de newton échouera si les racine sont distinctes???

Si les racines sont distinctes le graphe se présente comme un S qui l'axe x trois fois, il y a donc un maximum et un minimum. Les zones proches de ces extremum à l'intérieur de l'intervalle vous conduisent à des valeurs très grandes et ne conduisent pas à la racine la plus proche.
Avec une racine double, l'un des extremum est tangent à x, essayez de commencer la méthode sur l'autre extremum ?

[invite588a8b70]

Si les racines sont distinctes le graphe se présente comme un S qui l'axe x trois fois, il y a donc un maximum et un minimum. Les zones proches de ces extremum à l'intérieur de l'intervalle vous conduisent à des valeurs très grandes et ne conduisent pas à la racine la plus proche.
Avec une racine double, l'un des extremum est tangent à x, essayez de commencer la méthode sur l'autre extremum ?

Bien entendu
Mais on nous parle d'une valeur initiale exacte ... et le problème c'est que je ne sais pas exactement de quel type est cette valeur ... peut-être que ou bien une valeur qui entre dans un cycle d'ordre 2 de type et , et si c'etait le cas comment je vais déniche ce point géométriquement?

Ps: g est la fonction d’itération de Newton

[phys4]

comment je vais déniché ce point géométriquement?

Puisque l'on demande une solution géométrique, le graphe de P(x) nous est accessible ?

Sinon il est facile de prendre la dérivée de P et d'en déduire les extremums.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pourquoi ne pas étudier g ?

Cordialement.

[invite588a8b70]

Pourquoi ne pas étudier g ?

Cordialement.

en effet c'est justement ce que j'ai fais mais j'ai trouvé aucun point "spécial" -si on peut le dire - pour la quelle la méthode de Newton échouera (à part l'autre point fixe de g mais qui loin de la racine a ce qui est normal)