Limite de nx^n

[invite508de0cc]

Bonjour, pouvez-vous m'aider à calculer la limite de la suite nx^n avec x réel compris entre 0 et 1 en utilisant les prépondérance s'il vous plait ? Merci d'avance
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[Médiat]

Bonjour,

Conformément aux règles de ce forum, on veut bien vous aider, mais montrez-nous d'abord ce que vous avez fait et où vous bloquez.

[invite508de0cc]

oui bien sur, j'arrive à montrer que la suite tend vers 0 en utilisant exp et ln, mais dans la correction de l'exercice il est simplement indiqué qu'il faut utiliser une prépondérance, je sais à quoi cela correspond mais je ne ne sais pas comment l'introduire rigoureusement pour le calcul de la limite, qui je pense est moins couteuse en terme de calcul avec cette technique... Cordialement.

[invited8dd7571]

oui bien sur, j'arrive à montrer que la suite tend vers 0 en utilisant exp et ln

Justement, comment avez-vous fait ? N'auriez-vous pas utilisé les "prépondérances" sans le savoir ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite508de0cc]

J'ai pris l'exponentielle de ln(n) + nln(x) et dans mon calcul effectivement j'utilise le fait que ln(n)/n tend vers 0 en l'infini. Mais n'y a t-il pas d'autres moyen que de passer par exp et ln ? Je veux dire une histoire de petit o etc ?

[invited8dd7571]

Avec la notation "o", vous pouvez reformuler l'énoncé de votre exercice : montrer que , c'est montrer que . Mais ça ne fait pas avancer le schmilblick ; ça ne fait que reformuler la question en utilisant la définition du "o".

Si l'énoncé demande d'utiliser les croissances comparées, et que vous ne connaissez que des croissances comparées avec exp et ln, alors la méthode attendue est certainement celle que vous avez appliquée.

Mais évidemment, il y a d'autres méthode pour montrer ce résultat ! Par exemple (il y a peut-être plus simple, je vous en balance juste une qui me vient en tête), en posant avec 0<x<1, vous pouvez montrer que u est décroissante à partir d'un certain rang ; comme elle est positive, u admet une limite finie l, que vous pouvez déterminer à partir de la relation de récurrence .