Morphisme de groupe / exercice

[invite1eb2a065]

Bonsoir à tous,
J'ai un exercice sur les morphismes de groupes que j'aimerai pouvoir faire en entier car il comporte pas mal de notions (groupe cyclique, ordre, ...) et comme j'ai un partiel mercredi ça m'aiderait bien
Considérons le morphisme de groupe défini par ,
1) Résoudre dans , l'équation ;

2) Montrez que est un groupe cyclique d'ordre 11;

3) Montrez que si et alors est un générateur du groupe ;

4) Soit m un message chiffré par le morphisme f. Peut-on déchiffrer le message m ?

1) Bon là il est facile de trouver que

2) Les ennuis commencent: Je sais que Ker(f) est un sous groupe de , et comme est un groupe cyclique (car engendré par ) alors on en déduit que Ker(f) est un groupe cylique mais j'arrive pas à comprendre pourquoi d'ordre 11..

3) Ben si est cyclique alors il existe tel que mais je pense que la réponse doit être plus complète.

4)Pour cette question, y a t-il un rapport avec le chiffrement RSA ?

Voilà en espérant avoir une aide précieuse pour que je comprenne mieux
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[invite5357f325]

Bonjour, quelques petites remarques :

1) et 2) : on demande de trouver toutes les solutions. Par exemple, 0 est une solution, 13 est une solution mais 26 aussi, mais en fait 39 aussi, etc... (Ceci est aussi un indice pour la question 2). Il faut aussi que tu montre qu'aucun autre element fasse partie du noyau ).

3) Soit G un groupe cyclique d'ordre premier. Quel est l'ordre d'un element non nul (indice : Lagrange).

4) Je sais pas ce que veux dire "message code par f" mais par exemple les messages "23-43-91" et "37-30-39" auront la meme image, donc a priori c'est pas sur qu'avec juste "l'image du message par f" on sache reconstituer le message original. A moins de considerer un alphabet de 13 lettres. Mais bon je sais pas si ma reponse est tres pertinente.

Je sais pas si c'est au programme mais ici le theoreme de factorisation t'aiderait sans doute a parfaitement comprendre ce qu'il se passe.