morphisme et sous groupe

[invite77420056]

Bonjour

soit (G,$) et (G',#) 2 groupes ,f un morphisme de G dans G', H une partie de G et H' une partie de G' montrez
que

a) si H est un sous groupe de G alors f(H) est un sous groupe de G'

b) si H' est un sous groupe de G' alors f^{-1}(H') est un sous groupe de G

moi:

a) H sous groupe de G donc quelque soit (y1,y2) appartient à f(H) on pose y1=f(x1) et y2=f(x2) d'où

Y1 $ y2^{-1}=f(x1) $ f(x2)^{-1}=f(x1 $ x2^{-1}) or H est un sous groupe de G donc x1 $ x2^{-1} appartient à H et donc y1 $ y2^{-1} appartient à f(H) donc f(H) est bien un sous groupe de G'



b) H' sous groupe de G' donc quelque soit (y1,y2) appartient à f^{-1}(H') on pose f^{-1}(x1)=y1 et f^{-1}(x2)=y2 d'où y1 # y2^{-1}=f^{-1}(x1) # f^{-1}(x2^{-1})=f^{-1}(x1 # x2^{-1}) or H' est un sous groupe de G' donc x1 #x2^{-1} appartient à H' et y1 # y2^{-1} appartient à f^{-1}(H') donc f^{-1}(H') est un sous groupe de G.

Est ce correct?


Cordialement
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[indian58]

Tu manipules f^{-1} comme si c'était un morphisme de groupes, et donc une fonction. Es-tu sûr que ça soit vraiment le cas ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Une remarque commune à tes 2 réponses : Même si cela est évident, n'oublie pas de justifier que les ensembles concernés sont non vides.

quelque soit

quel que soit

a) H sous groupe de G donc quelque soit (y1,y2) appartient à f(H) on pose y1=f(x1) et y2=f(x2) d'où

Y1 $ y2^{-1}=f(x1) $ f(x2)^{-1}=f(x1 $ x2^{-1}) or H est un sous groupe de G donc x1 $ x2^{-1} appartient à H et donc y1 $ y2^{-1} appartient à f(H) donc f(H) est bien un sous groupe de G'

Partout où j'ai mis en rouge, remplacer par "#".


Cordialement

[invite77420056]

f est en fait un isomorphisme ils ne le disaient pas dans l'énoncé donc f^{-1} est sa bijection réciproque donc un morphisme ou est le problème ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

John35,

il n'y a nul besoin que f soit un isomorphisme. Revois la notion d'image réciproque par une application. D'ailleurs si f est un isomorphisme, la question b ne sert à rien, c'est la question a appliquée à f^-1.

Cordialement.

[indian58]

John35,

il n'y a nul besoin que f soit un isomorphisme. Revois la notion d'image réciproque par une application. D'ailleurs si f est un isomorphisme, la question b ne sert à rien, c'est la question a appliquée à f^-1.

Cordialement.

Mon post allait dans ton sens, je voulais qu'il fasse ce cheminement de pensée.

[invite77420056]

non j'ai bien relu et f est un morphisme

[PlaneteF]

J'avais d'ailleurs mis le lien ci-dessous initialement dans mon message, mais vu que jonh modifiait en cours de route son message, je l'ai enlevé en attendant d'avoir son message définitif. Je le remets donc :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Image_r%C3%A9ciproque

[indian58]

non j'ai bien relu et f est un morphisme

Donc raison de plus pour que tu revoies ta copie et que tu cesses de considérer f^{-1} comme une fonction...