Recherche de triplets

[Ashrod]

Bonjour à tous,

Une fois n'est pas coutume, j'ai un peu de temps devant moi et je vais en profiter pour vous faire part d'un problème que j'ai actuellement. Plutôt que de l'exposer platement, je vais retracer le cheminement qui m'y a conduit.

Tout à commencé avec l'article des notes de lectures du magasine tangente n°163 présentant Homer en butte devant une presque-solution de l'équation de Fermat de degré 12...

Après quelques petites vérifications toutes simples, il m'est apparu que cette presque-solution équivalait à un décalage énorme quand on manipule les valeurs dans l'absolu (l'écart entre les valeurs des deux membres de cette égalité est de l'ordre de 10^33).

Je me suis alors demandé si on ne pouvait pas avoir une presque-solution du genre

Et je me suis donc attelé à la recherche de triplets dans le cas le plus simple de mon étude, à l'heure actuelle : n = 3.

J'ai par exemple découvert que ou (je sais que ca ne sert pas à grand chose, mais j'aime bien commencer petit avant de manipuler les degrés 12).

Cependant, j'en était réduis jusqu'à hier à la recherche exhaustive de tels triplets (je me suis toutefois déjà délimité avec la condition supplémentaire 1<a<b).

Cette recherche de triplets est malgré tout bien longue compte tenu que je n'ais à disposition facilement qu'une TI 81 (je ne peux malheureusement pas laisser tourner un pc toute une nuit).

J'ai donc décidé de rendre ma recherche plus efficace algorithmiquement parlant, voici cette démarche :

Je pars de . Après une petite réorganisation des termes, j'arrive (c'est facile) à .

De là, je parcours les diviseurs de a^3 - 1 (que je place sous la forme , ) en recherchant ceux qui respectent et .

Par une habile combinaison des deux dernière équations, j'en suis réduis à trouver la solution positive d'une équation du deuxième degré en b qui serait entière.

Voici mes questions :

Compte tenu de la forme de ma recherche , je pars de jusqu'à car j'ai constaté que est un majorant facile à obtenir, mais je ne suis pas sûr qu'il faille aller aussi loin. Serait-il possible d'avoir un majorant plus petit ?

Ensuite, pour la recherche de la solution positive entière à une équation du second degré, n'y a-t-il pas plus efficace que de faire la série de calculs "discriminant et calcul de valeur" ? Je pense notamment à une fonction qui déterminerait, en une étape et à partir des coefficients de l'équation, si la solution est entière (peut-être qu'une telle fonction n'existe pas... en tous cas, je ne l'ais pas encore trouvée).

Pour finir, est ce qu'il n'existerait pas une méthode plus expéditive que ce que j'ai développé ?

Je vous remercie grandement pour toute l'aide que vous m'apporterez sur ce sujet, je suis désolé du manque d'esthétique (à tous points de vue) dans la formulation de mon problème et suis désolé aussi du pavé qu'il constitue.

Merci et à bientôt
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[Médiat]

Bonjour,

Très jolie question !

Sauf erreur de calcul de ma part, on obtient

D'où on tire :

[Ashrod]

Bonjour et merci de vous intéresser à ce petit problème,

J'avais bien peur qu'une méthode plus expéditive nécessite du calcul modulaire, je prend donc votre idée comme une confirmation, ce qui ne va pas beaucoup m'aider dans l'immédiat. Peut-être que les choses seront plus claires après avoir un peu réfléchi à cet aspect.

Encore merci et à bientôt.

[Médiat]

Bonjour,

Toujours sauf erreur de calcul, j'en arrive à la liste suivante pour les congruences modulo 3 possibles de a, b et c :
(1, 0, 0), (0, 0, 2), (0, 1, 0), (1, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2)


[EDIT] J'avais oublié "modulo 3"

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Effectivement on peut chercher une "presque solution" sous cette forme, mais la généralisation la plus classique consiste à introduire un premier impair p de sorte que l'équation devienne x^n+y^n=pz^n

[Médiat]

Bonjour,

Voici où j'en suis arrivé : et jouant le même rôle, est ici celui des 2 qui a la plus petite valeur modulo 6.



Ce sont des conditions nécessaires, mais non suffisantes.

[Médiat]

Bonjour,

Bien que Ashrod semble se désintéresser de la question, pour information : les triplets de la forme (pour tout entier) sont solution de , ils représentent environ 40% des solutions.

[Ashrod]

Bonjour,

Désolé si j'ai paru dissipé, mais je ne suis pas souvent présent sur la toile ces derniers temps. Ce problème m'intéresse toujours énormément et je vous remercie pour vos efforts.

Encore merci et à bientôt.