Résolution équations différentielles du deuxième ordre

[invite376e3498]

Bonjour,
je fait appel à vous car j'ai besoin de votre aide pour comprendre le corrigé d'un DM.
J'ai plusieurs exemples à vous proposer.


y''+y'-2y+2x=0

solution de l'équation homogène : y(x)=c1e^-2x+c2e^x

Dans mon corrigé, il est indiqué concernant la solution particulière :
"on cherche une solution du type y(x)=ax²+bx+c"

Ma question, pourquoi ce type de solution ?

ps : Je comprends ensuite comment on passe de y(x)=ax²+bx+c à la solution générale, mon interrogation concerne seulement le type de solution de cet exemple et les types des exemples suivants.


2eme exemple :
y''-3y'+2y-4e^2x=0
solution particulière du type : y(x)=ax e^2x

3eme exemple :
y''+y-sinx=0
solution particulière du type : y(x)=ax cosx

4eme exemple :
y''-y-xe^x=0
sol. particulière : y(x)=(ax+bx²)e^x

5eme exemple :
6y''-5y'+y-x²-1=0
sol. particulière : y(x)=ax²+bx+c
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[gg0]

Bonjour.

Il existe un certain nombre de cas où on peut penser qu'une fonction de la même forme que le "second membre" (-2x, 4e^2x, sin x, xe^x, x²+1) pourrait être une solution de l'équation différentielle. Si on sait bien dériver, on voit facilement pourquoi.
Tu as là l'essentiel des cas classiques (polynôme, exponentielle, fonction de sin x et/ou cos x, polynôme multiplié par une exponentielle ou un sinus ou cosinus).
Il y a un piège pour exponentielle et fonctions trigo : Les solutions auxquelles on pense peuvent être déjà solutions de l'équation homogène. On dit qu'il y a résonance. dans ces cas-là, on multiplie par x. C'est ce qui a été fait dans le deuxième exemple.

A noter : Pour y''+y'-2y+2x=0, y=ax+b suffit (un polynôme de même degré suffit). Pour y''+y'-2y+2x³=0, on prendra y=ax³+bx²+cx+d.

Cordialement.