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Résolution équations différentielles du deuxième ordre



  1. #1
    Imhere

    Résolution équations différentielles du deuxième ordre


    ------

    Bonjour,
    je fait appel à vous car j'ai besoin de votre aide pour comprendre le corrigé d'un DM.
    J'ai plusieurs exemples à vous proposer.


    y''+y'-2y+2x=0

    solution de l'équation homogène : y(x)=c1e-2x+c2ex

    Dans mon corrigé, il est indiqué concernant la solution particulière :
    "on cherche une solution du type y(x)=ax²+bx+c"

    Ma question, pourquoi ce type de solution ?

    ps : Je comprends ensuite comment on passe de y(x)=ax²+bx+c à la solution générale, mon interrogation concerne seulement le type de solution de cet exemple et les types des exemples suivants.


    2eme exemple :
    y''-3y'+2y-4e2x=0
    solution particulière du type : y(x)=ax e2x

    3eme exemple :
    y''+y-sinx=0
    solution particulière du type : y(x)=ax cosx

    4eme exemple :
    y''-y-xex=0
    sol. particulière : y(x)=(ax+bx²)ex

    5eme exemple :
    6y''-5y'+y-x²-1=0
    sol. particulière : y(x)=ax²+bx+c

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Résolution équations différentielles du deuxième ordre

    Bonjour.

    Il existe un certain nombre de cas où on peut penser qu'une fonction de la même forme que le "second membre" (-2x, 4e2x, sin x, xex, x²+1) pourrait être une solution de l'équation différentielle. Si on sait bien dériver, on voit facilement pourquoi.
    Tu as là l'essentiel des cas classiques (polynôme, exponentielle, fonction de sin x et/ou cos x, polynôme multiplié par une exponentielle ou un sinus ou cosinus).
    Il y a un piège pour exponentielle et fonctions trigo : Les solutions auxquelles on pense peuvent être déjà solutions de l'équation homogène. On dit qu'il y a résonance. dans ces cas-là, on multiplie par x. C'est ce qui a été fait dans le deuxième exemple.

    A noter : Pour y''+y'-2y+2x=0, y=ax+b suffit (un polynôme de même degré suffit). Pour y''+y'-2y+2x3=0, on prendra y=ax3+bx²+cx+d.

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 03/05/2015 à 21h59.

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