bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a repondre a cette question
a)ecrire l'dentité de besout pour 41 et71
b)trouver toutes les solution dans Z2911 de l'equation x2=2008
voici ce que j'ai pu faire
a) l'identité de bezout est 41*26+71*(-15)=1
mais je n'arrive pas a repondre a la question b) pouvez vous m'aider .merci en avance.
2911 = 41 * 71 donc on peut écrire:
x2 = 2008 = 40 [41]
x2 = 2008 = 20 [71]
On peut chercher les solutions par essai et erreur et on trouve pour la 1ere congruence x = 9 [41] et donc aussi x = 41-9=32 [41], et pour la 2e: x = 34 [71] et aussi x = 71 - 34 = 37 [71]
Ensuite on combine ces solutions par paires ce qui donne 4 systèmes:
1: x = 9 [41] et x = 34 [71]
2: x = 9 [41] et x = 37 [71]
3: x = 32 [41] et x = 34 [71]
4: x = 32 [41] et x = 37 [71]
Pour résoudre chacun, on utilise ton résultat de la question 1, par exemple, pour le système 1, il existe u et v tels que x = 9 + 41u et x = 34 + 71v --> 9 + 41u = 34 + 71v --> 41u - 71v = 25
Tu as trouvé a = 26 comme solution de 41a + 71b = 1 donc u=25a = 650 donc x = 9+41*650 = 460 [2911]
C'est la solution du 1er système de congruences: 460=9[41] et 460=34[71] et on a bien 4602 = 2008 [2911]
Une autre solution est calculable par symétrie puisque (-460)2 = 2008 [2911] donc x=2911-460=2451 est la solution du système 4.
Il te reste à résoudre le 2e système, qui va aussi donner par symétrie la solution du 3e.
