Hypothèse de domination

[inviteb49dfe16]

Bonjour,
Je suis chargé de démontrer que la fonction suivante est dérivable sur [a,+00[:

f(x)=I ((exp(-xt)cos(t))/x)dt avec I: l'intégrale entre 0 et +00

J'ai donc calculé la dérivée partielle par rapport à x que je réécris ici:

(-texp(-xt)cos(t))/x -(exp(-xt)cos(t)/x^2

Puis viens le moment de majorer ce résultat, et je ne vois aucune simplification possible. Cependant, j'ai trouvé un corrigé où ils affirment que l'on a:

!(-texp(-xt)cos(t))/x -(exp(-xt)cos(t)/x^2!<texp(-at) (les ! pour les valeurs absolues)

Ce que je comprendrais donc au final, s'il n'y avait pas le deuxième terme de la dérivée. Cependant, je dois bien avouer que je ne comprends pas comment obtenir ce résultat, et serais reconnaissant à celui qui voudrait bien m'éclairer de sa lanterne.

Merci d'avance.
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[invite5adb2c3e]

Je pense qu'il y a confusion.
On majore la dérivée par rapport à x de h(x,t) = exp(-xt)cos(t) < texp(-at) (en majorant le cos par 1)
Pour tout t dans 0;+inf , x->h(x,t) est C1 sur a;+inf car exp l'est
Pour tout x dans a;+inf, t->h(x,t) intégrable sur 0;+inf
dh/dx CM sur 0;+inf
texp(-at) intégrable sur 0;+inf donc d'après le théorème de dérivation sous le signe somme Iexp(-xt)cost dt C1 et par produit de fonctions C1 ta fonction est dérivable sur a;+inf

[inviteb49dfe16]

Si je comprends bien ta démarche, tu as considéré qu'il n'y avait pas de x au dénominateur au niveau de ce que j'ai écris f(x) et que c'était surement une erreur? (d'ailleurs, j'aurais du l'écrire f(x,t) mais passons).
Cependant, je peux t'assurer que le x est bien là, ce qui m'embête fâcheusement. Ne pourrait-on pas faire comme tu as fais, montrer que h(x,t) est dérivable et C1 sur a;+inf puis dire:
f(x,t)=h(x,t)/x est donc aussi C1 sur [a,+inf[? (avec mon f(x,t) initial)

[invite5adb2c3e]

Oui complètement c'est la dernière étape de mon raisonnement 1/x étant C1 sur cet intervalle, par produit de fonction C1, ici 1/x et h(x,t), la fonction est C1.
J'ai juste sorti le 1/x de l'intégral, je ne vois pas comment il est possible d'obtenir la majoration sinon à moins d'avoir des conditions sur a au voisinage de 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb49dfe16]

Merci beaucoup pour ton aide!