Bonjour à tous,
Sur la page suivante : http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3...9brique_affine, on trouve la chose suivante :
définie par :
Merci d'avance.
Il y'a correspondance bijective entre les idéaux ( idéaux maximaux , idéaux premiers ) de
Appellons
Tu regarde l'application :
Le Nullstellensatz t'assure que les idéaux maximaux de
Si ce n'est pas clair, relis le premier chapitre du Hartshorne (page 1 à 4 doit être suffisant): j'utilise bien sûr que par exemple
Le seul résultat compliqué est le Nullstellensatz. Il se démontre dans Fulton, que tu as aussi je crois (d'ailleurs dans Fulton toute les équivalences entres points, idéaux maximaux, variétés et idéaux premiers, sous-ensemble algébriques et idéaux radicaux etc... sont aussi démontré).
(Membre de gauche => membre de droite)
Bonsoir,
Merci de m'avoir répondu petrifie.
Si :
Par conséquent :
Merci d'avance.
Oui tu peux t'en sortir avec ça.
Quand le corps n'est pas algébriquement clos, tu peux par exemple regarder le polynôme x^2 + 1 sur R. Le quotient R[x]/(x^2 + 1) est isomorphe à C, donc c'est un idéal maximal mais pas de la forme x - a. Ce qui montre que l'application n'est pas toujours surjective.
Pas besoin de second Nullstellensatz pour montrer l'injectivité de ton application. L'application (a_1, ..., a_n) -> (x_1 - a_1, ..., x_n - a_n) est bien injective. Il suffit donc de vérifier que l'application : { m \in Spm A , \sqrt(I) est contenu dans m} -> SpmA/\sqrt(I) est injective. (et alors phi le sera, comme composition de deux applications injectives.) Mais en fait cette application est bijective, puisque comme dit avant si f : B -> C est une surjection, il y a bijection entre les idéaux maximaux de B qui contiennent ker(f) et les idéaux maximaux de C (preuve : une telle correspondance existe entre idéaux de B contenant ker(f) et idéaux de C. De plus, cette correspondance conserve l'inclusion, donc J est maximal dans B ssi f(J) est maximal dans C).
Ce qui montre aussi la surjectivité, mais seulement si on sait que l'application (a_1, ..., a_n) -> (x_1 - a_1, ..., x_n - a_n) \in Spm A est une bijection (ce qui est vrai dans le cas d'un corps algébriquement clos par le Nullstellensatz).
Voilà, normalement c'est tout bon. Si tu as des doutes, premier chapitre d'Atiyah Mac Donalds + premier chapitre du Hartshorne.
(J'ai noté A=k[x_1, ..., x_n]).
Merci. et :
Merci.
Tu peux le faire directement sans passer par les V ! C'est beaucoup plus simple et "bebête".
Disons par exemple que (a_1,...,a_n) est différent de (b_1,...,b_n). Spdg, a_1 est différent de b_1. Mais alors, x_1-a_1 est contenu dans (x_1-a_1,...) mais pas dans le deuxième idéal, et donc l'application est injective.
Bonsoir,
Merci pour ta réponse petrifie.
J'ai une question à vous poser tous si vous me permettez :
Est qu'il existe une analogie entre les idéaux maximaux d'un anneau, et les hyperplans d'un espace vectoriels ou les hypersurfaces d'une variétés ? Si oui, comment peut-on construire un foncteur qui établit l'équivalence de cette correspondance ? Cela permettrait-t-il de transposer l'arsenal algébrique portant sur les idéaux maximaux à la catégorie des hyperplans ( si ça existe ) ? Et qu'est ce que ça veut dire dans ce cas là, un espace vectoriel à un seul hyperplan correspondant à la notion d'un anneau local ?
Merci d'avance
Hum, disons qu'a un ideal "max" tu associe bijectivement (j'assume k alg. clos) un point de l'espace projectif, auquel tu peux associer un hyperplan et vice versa. (Je met max entre car les ideaux de points dans l'espace projectif ne sont evidemment pas maximaux mais presque)
Ensuite tu as la notion d'espace dual en géométrie qui réponds peut être a la question. (Un droite de l'espace dual est un point dans l'espace precedent et vice versa).
Qu'est ce qui te fait penser qu'une telle correspondance existe ?
Ah, les fameux et tres interessants espaces vectoriels à un seul hyperplan!
Bonjour,
Je sais que certaines de mes idées sont un peu fumistes, mais, ce n'est pas grave de se poser ce genre de questions si cela nous aiderait à mieux comprendre les choses, mais j'avoue que parfois ça devient ridicule au regard des autres. Mais, avec un peu d'indulgence, on peut vite s'en sortir.
En réponse à petrifie, j'essaye de ramener l'étude qui se fait au sein d'un anneau à une situation plus concrète et plus proche de la perception de notre esprit, ici, à travers les espaces vectoriels, Il n'y'a aucun autre secret derrière cette question que j'ai posée.
MiPaMa : Un espace vectoriel à un seul hyperplan, ça n'existe pas, non ? Et s'il s'agit d'un module sur anneau au lieu d'un espace vectoriels, y'a -t-il une chance que ça existe ?
Merci d'avance.
Bonjour,
Je sais que certaines de mes idées sont un peu fumistes, mais, ce n'est pas grave de se poser ce genre de questions si cela nous aiderait à mieux comprendre les choses, mais j'avoue que parfois ça devient ridicule au regard des autres. Mais, avec un peu d'indulgence, on peut vite s'en sortir.
En réponse à petrifie, j'essaye de ramener l'étude qui se fait au sein d'un anneau à une situation plus concrète et plus proche de la perception de notre esprit, ici, à travers les espaces vectoriels, Il n'y'a aucun autre secret derrière cette question que j'ai posée.
MiPaMa : Un espace vectoriel à un seul hyperplan, ça n'existe pas, non ? Et s'il s'agit d'un module sur anneau au lieu d'un espace vectoriels, y'a -t-il une que ça existe ?
Merci d'avance.
Il y'a un cas très particulier que je connais, c'est quant l'espace vectoriels est de dimension 1, son unique hyperplan est l'espace nul. et donc, cet espace vectoriel correspond à un corps, donc à un anneau local en particulier.
C'est un cas très particulier ça.
Un espace vectoriel possédant un unique hyperplan est necessairement de dimension 1.
Maintenant si on prend une (k=k^\bar)-algèbre de type fini, A, et m un ideal maximal de celle ci, alors m est necessairement un hyperplan de celle ci et A=m\oplus k.
Si k n'est pas algbériquement clos, la situation se complique, par exemple X^2+1 est un ideal maximal de codimension 2 dans Q[X] ou X^(p-1)+...+1 est un ideal maximal de codimension p-1 dans Q[X] pour tout nombre premier p.
Pour repondre a ta seconde requête initiale sinon, il me semble important de comprendre le principe suivant : r contraintes indépendantes dans un espace a n dimension represente une variété de dim n-r.
Donc un idéal maximal représente le "plus de contraintes possibles", on va donc avoir une variété très petite. Une hypersurface est la plus grande variété (hors l'espace lui meme) donc son idéal va être très petit (engendré par un seul polynôme). Donc si tu tiens vraiment a faire ton analogie, il faudrait associer un idéal "minimal" a une hypersurface.
Si tu travailles sur k algébriquement clos, la correspondance originale est déjà très bien et intuitive (qui est : bijection entre ensembles algebriques et ideaux radiciels). Pas la peine de rajouter des choses en plus !
Merci à vous deux MiPaMa et petrifie pour toutes ces précisions que vous m'avez fourni. Vos réponses sont très éclairantes et intelligentes. Bravo à vous deux.
Oui c'est effectivement une idée heuristique importante!Envoyé par petrifie
Malheureusement elle peut parfois ne pas fonctionner dans le cadre schématique, et pas que pour des objets arithmétiques (c'est ce genre de details qui fait que je suis bien contente de ne pas faire de la géométrie algébrique).
Tiens ça m'intéresse, as tu des exemples ?
Et par curiosité tu fais quoi ?
Voici un exemple de nature arithmétique.
Prend V(pT-1) dans Spec(Z_p[T]).
C'est défini par une équation dans une surface et pourtant de dimension 0! Mais c'est bien de codimension 1.
Voici un exemple de nature plus géométrique, si tu prend la sous variété de A² définie par x², y², xy, alors tu as 3 equations qui sont bien "indépendantes" (en tout cas libre dans k[x,y]) mais elles définissent un point (non réduit), de dimension 0 donc. Et pire, tu ne pourras pas engendrer l'idéal correspondant par seulement 2 equations.
Je fais de la physique (c'est plus facile
Sympa les exemples ! Je pense pas que la physique soit plus facile, il faut etre bon en maths et en physique j'imagine
Ce serait sympas que tu nous expliques s'il y'a un cadre théorique qui interprète cette anomalie. Mes connaissances sont très limité en théorie des schémas, et j'ai lu plusieurs fois qu'il se passe des trucs bizarres lorsque un schéma n'est pas réduit. Et est ce que la théorie des schémas est utile en physique ?
Merci d'avance.
Par exemple la notion de torseur qu'on trouve en théorie des schémas m'avait fait penser au départ à la notion de torseur ( cinématique / dynamique ) en physique des solides, mais ce n'était pas le cas.
Bonsoir à tous,
Pourquoi il n'existe pas de théorie généralisant la théorie des variétés différentiables et analytiques et qui pourrait jouer le rôle de théorie des schémas qui généralise la théorie des variétés algébriques ) ?
Merci d'avance.
*** à supprimer ***
