Optimisation mathématiques

[zach44]

Bonjour,

J'ai le problème suivant à résoudre :
Organisation d'une soirée; l'organisateur dispose des alcools suivants:
1.2L de whisky
1.8L de vodka
1.6L de vermouth blanc
1.8L de vermouth rouge
0.6L de cognac
0.5L de liqueur

il veut faire 6 cocktails différent :
le "chauncy" = 2/3 whisky +1/3 de vermouth rouge
le"Black Russian"=3/4 vodka +1/4 liqueur
le "Sweet Italian" = 1/2 cognac + 1/4 vermouth rouge +1/4 vermouth blanc
le "Molotov Cocktail"= 2/3vodka + 1/3 vermouth blanc
le "Whisky on the Rocks"=que du whisky
le "Zombie"=2/3 vodka + 1/3cognac

On sait que un cocktail doit avoir un volume de 10cl
s'il rest 0.25L de vodka on peut faire 5 cocktails
Le nombre de cocktail "Molotov Cocktail" est deux fois plus élevé que le nombre de cocktail "Black Russian"

L'objectif est de MAXIMISER le nombre de cocktails servit.


J'ai défini les variables de décisions:
x_1 : Nombre de cocktails « Chauncy »
x_2 : Nombre de cocktails « Black Russian »
x_3 : Nombre de cocktails « Sweet Italian »
x_4 : Nombre de cocktails « Molotov Cocktail »
x_5 : Nombre de cocktails « Whisky on the Rocks »
x_6 : Nombre de cocktails « Zombie »

l'objectif est de trouver le maximum de la fonction f(x)=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6
avec les contraintes suivantes:
contraintes sur les quantités d'alcool:


120-10( (2x_1)/3+x_5 )≥0
soit 2x_1+3x_5≤36 pour le whisky

180-10((3x_2)/4+(2x_4)/3+(2x_6)/3)≥0
soit 9x_2+8x_4+8x_6≤216 pour la vodka

160-10( x_3/4+x_4/3)≥0 soit
3x_3+4x_4≤192 pour le blanc

180-10( x_1/3+x_3/4)≥0
soit 4x_1+3x_3≤216 pour le rouge

Pour le cognac : 60-10( x_3/2+x_6/3)≥0
Soit 3x_3+4x_4≤36

Pour la liqueur de café : 50-10 x_2/4≥0
Soit x_2≤20

Pour le nombre de molotov cocktail deux fois plus important j'ai écrit :
2x_2=x_4
Comme nous parlons de cocktails On parle de nombre entier ainsi (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)∈ N^6

Enfin s’il reste 0.25 litre de Vodka on pourra faire 5 cocktails :
Donc si 180-10((3x_2)/4+(2x_4)/3+(2x_6)/3)=25 alors on a :
f(x)=f(x_1 ,x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 )=5

Maintenant pour chercher le maximum de f avec toutes ces contraintes je ne vois pas trop comment procéder, trouver le maximum d'une fonction dans R^6 est déjà pas évident sans contraintes... Ai-je "surcontraint" le modèle mathématiques ? Avez vous des solutions/remarques sur ma résolution de exercice ?

Cordialement
-----

[gg0]

Bonjour.

On peut déjà diminuer de 1 le nombre de variables avec 2x_2=x_4.
Je ne comprends pas trop la signification de "s'il reste 0.25L de vodka on peut faire 5 cocktails" d'autant que 5cl de vodka ne font pas un cocktail de 10 cl. De plus, cette phrase n'est pas une contrainte. Laissons-la pour l'instant.
Ensuite, ça relève de l'optimisation entière. Une assez bonne solution est obtenu en utilisant de l'optimisation convexe (simplexe, par exemple), puis en cherchant les valeurs entières proches compatibles avec les contraintes.

Revenons à la phrase bizarre. Elle peut se traduire par une expression plus élaborée et complexe de la fonction objectif. Mais bizarrement, pourquoi fait-on 5 cocktails avec 0,25 l mais pas 1 avec 0,05l ou 6 avec 0,30 l de vodka ?

En tout cas "si 180-10((3x_2)/4+(2x_4)/3+(2x_6)/3)=25 alors on a : f(x)=f(x_1 ,x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 )=5" est bizarre puisque les autres cocktails ont disparu.

Cordialement.

[zach44]

Bonjour et merci de votre réponse !
En ce qui concerne le nombre de variable j'avais omis de l'écrire dans mon post.
D'autre part pour la phrase bizarre je vais vous la réécrire comme elle l'est dans l’énoncé : "L'organisateur aime bien la vodka et il est d'accord de diminuer le nombre de cocktails de 5 s'il reste au moins 0.25L de vodka (c-à-d : s'il reste 0.25L de vodka, cela est équivalent à 5 cocktails servis)".
j'ai sans doute mal interprété cette partie du problème mais je ne vois comment la traduire. j'ai cherché à reformuler et je suis parvenu à celle-ci :
Ma formule serait plutôt f(x)=f(x_1 ,x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 )=5+n
n: nombre de cocktails servis avant que la condition 180-10((3x_2)/4+(2x_4)/3+(2x_6)/3)=25 ne soit respecté ?
Cordialement

[gg0]

Il me semble alors qu'on peut traiter en 2 fois : Une fois sans tenir compte de cette condition. Et s'il reste 0,25 l de vodka dans la meilleure solution, on a trouvé; sinon, on traite à nouveau le problème sans cette condition, mais avec 1,55l de vodka, puis on rajoute 5.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zach44]

Le problème semble plus clair ! Merci pour vôtre aide !
Cordialement