Bonsoir à tous,
C'est la première fois que je passe sur ce forum et il se trouve que les vacances n'ont pas vraiment été éclairantes sur deux de mes dossiers à rendre pour le 3 janvier. Le premier étant celui sur le possible comme faisant parti de la réalité ... et le second qui comme le titre l'indique : En quoi les objets mathématiques font-ils parti des mathématiques ?
Dans un premier temps, les recherches se sont orientées sur une sorte de classification des objets, ce qui s'est révélés quasiment impossible puisque le nombre des possibilités de ceux-ci sont infinis. Un nombre est un objet, les symboles tels Pi et infini sont des objets mathématiques ... et qui dit objets mathématiques alors qu'entend-t-on par "mathématique" ?
Devons nous considérer que les objets géométriques sont des mathématiques ?? donc une droite, un point, un prisme ... doivent-ils être considérés comme objets mathématiques ?
Dans un second temps, j'ai essayé de voir le sens philosophique "d'objet mathématique" :
D'où proviennent les objets mathématiques ? Selon les thèses empiristes, ils sont issus, comme toute autre connaissance, de l'expérience. Selon Stuart Mill, " (...) les points, les lignes, les cercles que chacun a dans l'esprit sont de simples copies des points, des lignes, des cercles qu'il a connus dans l'expérience." Ainsi la lune et le soleil nous mèneraient à l'idée de cercle, la surface du lac à celle de plan, le fil à plomb à la droite, le tronc d'arbre au cylindre, etc. Il y a cependant d'importantes difficultés dans cette thèse. D'abord, les formes géométriques élémentaires sont plutôt rares dans la nature, qui nous propose au contraire des formes assez déroutantes et complexes, et il faudra des travaux comme ceux de Mandelbrot, avec les formes fractales, pour commencer à en rendre compte. Ensuite, il faut tellement de bonne volonté pour aller du tronc d'arbre au cylindre, qu'on peut légitimement se demander si on ne se contente pas de retrouver dans le tronc d'arbre l'idée de cylindre avec laquelle on l'a préalablement appréhendé (car là aussi, une courbe fractale conviendrait mieux). Quant à parler de "simple copie", la moindre réflexion sur les objets mathématiques élémentaires rend la qualification peu probable.
Une droite, un plan, un point ne peuvent pas exister dans une expérience réelle, faute d'épaisseur. Une droite sans épaisseur ne pourrait être donnée que comme limite entre deux couleurs, mais la couleur n'intervient pas dans la définition des figures géométriques. On ne voit pas ce qui dans le réel pourrait mener à la notion de nombre négatif. Ce qui existe existe, positivement donc. Et si l'on dit que l'expérience peut nous y conduire, par ce qui y manquerait, il faut alors se souvenir que ce qui manque ne manque que par rapport à une attente, donc c'est la pensée qui met le négatif. Le nombre même, qui repose sur l'unité, a ainsi une base bien peu réelle, car il n'y a guère d'unité stricte dans le réel, là aussi, on peut plutôt soupçonner la reconnaissance a posteriori des traces d'un acte de la pensée (voir sur le problème des nombres, Le nombre et les nombres d' Alain Badiou, et sur l'ensemble du problème, Mathématiques et réalité.)
Platon, mettant en scène la fausse naïveté de Socrate, le place devant cinq osselets. Qu'y a-t-il vraiment de donné quand on a devant soi cinq osselets ? Il y a osselets, et il y a cinq. On peut toucher les osselets, ils sont bien là, concrètement, mais pas en tant que cinq. Car chacun existe en lui-même, dans l'indifférence du nombre qui permet de lui en associer d'autres. Mais où est alors le cinq ? Il n'existe pas de la même manière que les osselets existent, il est une pure idée. Le mathématicien ne s'occupe pas des osselets, il s'occupe du cinq, il a donc quitté le monde sensible pour accéder à celui des idées. L'espace du géomètre n'est pas l'espace sensible, il n'est pas l'étendue concrète où rien n'existe sans épaisseur, mais une étendue intelligible. Il ne faut pas confondre les figures et les objets mathématiques qu'ils figurent. " Le géomètre, lorsqu'il trace au tableau ses figures, forme des traits qui existent en fait sur le tableau qui lui-même existe en fait. Mais pas plus que le geste physique de dessiner, l'expérience de la figure dessinée en tant qu'expérience ne fonde aucunement l'intuition et la pensée qui portent sur l'essence géométrique" (Husserl, Idées directrices pour une phénoménologie). On parlera alors d'une idéalité des objets mathématiques.
Concernant la nature des objets mathématiques, les thèses opposées de l'empirisme et de l'idéalisme reposent néanmoins sur une conception commune, à savoir qu'il existe bel et bien de tels objets, donc préexistant à leur découverte. Mais on peut mettre en doute qu'il y ait objet. Le langage naturel nous montre déjà cette possibilité de substantivation, d'hypostase, qui consiste à transformer en substance ce qui est acte (Le passage du cortège : passage ne désigne pas "quelque chose", mais un acte). De la même manière, les prétendus "objets" mathématiques ne peuvent être que des abstractions opératoires. Le cinq n'est ni dans les osselets, ni dans un ciel intelligible. Il n'est nulle part, parce qu'il n'est pas quelque chose, mais une opération de l'esprit, qui décide de considérer ensemble ces osselets-ci et non les autres. L'objet mathématique est "substantivation" d'une opération. Celle-ci prend plus de puissance à mesure qu'elle prend plus d'extension, donc plus d'abstraction, ce qui veut dire moins de concrétude. L'illusion (commune sans doute à toutes les sortes de langage) consiste donc à dénommer comme être ce qui n'est qu'opération sur des êtres. On retrouve donc ici une critique proche de celle du nominalisme.
Voilà ce que j'en retiens principalement et de manière générale ... c'est à dire que ça ne m'aide pas des tonnes ??
Je dirai qu'une seule chose ....
Merci pour ceux que cela tenterai de se plonger dans l'univers obscur des objets mathématiques !!
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Envoyé par Hilbert