Système différentiel et matrice

[invite1611816e]

Bonjour,


J'ai un système différentiel à résoudre pour lequel je cherche la solution particulière :


Le système est de la forme :

X' = AX + B

Avec
; ; ;

On cherche alors une solution du type X = e^t( Ut² + Vt + W) car on veut un polynôme Q tel que

deg Q = deg P + ma(1) et 1 est une valeur propre double ici.


En remplaçant dans le système X' = AX+B on obtient






Cependant (A-I) n'est pas inversible il faut alors trouver directement U,V et W.

. =

En appliquant le pivot on trouve qu'il existe une solution ssi e = -2d et on trouve le système

b=f - 2a
c = f - d + a

Ce qui donne : puis d,e,f = 0 ici donc finalement

A partir de là je n'arrive pas à correctement appliquer la même méthode

(A-I)V= 2U

. =


La ligne précédente est peut-être fausse, je ne sais pas trop comment faire à partir d'ici.


Merci,
-----

[invite93e0873f]

On cherche alors une solution du type X = e^t( Ut² + Vt + W) car on veut un polynôme Q tel que

deg Q = deg P + ma(1) et 1 est une valeur propre double ici.

Je ne connais pas de résultat de ce genre. Que sont P, Q et ma ?

En remplaçant dans le système X' = AX+B on obtient






Cependant (A-I) n'est pas inversible il faut alors trouver directement U,V et W.

. =

En appliquant le pivot on trouve qu'il existe une solution ssi e = -2d et on trouve le système

b=f - 2a
c = f - d + a

Ce qui donne : puis d,e,f = 0 ici donc finalement

A partir de là je n'arrive pas à correctement appliquer la même méthode

(A-I)V= 2U

. =


La ligne précédente est peut-être fausse, je ne sais pas trop comment faire à partir d'ici.

Je me suis permis de modifier la fin de votre message en insérant des « ' » afin d'éviter une confusion sur ce qu'est .

Si je me fies à ce que vous avez écrit, une solution existe si et seulement si -4a = -2(2a), ce qui est le cas, dans quel cas et . Bref, .

Finalement, a une solution si et seulement si , ce qui donne la contrainte . Dans ce cas, toujours par votre solution, et . Bref, .

Je suis surpris que la solution ne soit pas unique... (édition : ah ! il n'y a pas de condition initiale, donc c'est normal !)

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Après calcul, j'obtiens le même critère d'existence d'une solution, la même valeur de c, mais plutôt . C'est un b différent si f et d ne sont pas égaux, mais cela ne se produit pas ici... !