Un système différentiel

[g_h]

Bonjour,

J'ai un petit exercice qui me rebute sur plusieurs points :

Dans cet exercice (où ) est un vecteur de de classe C².

On a le système différentiel :
où

On me demande :
diagonaliser la matrice (c'est une matrice "par blocs") :
où est la matrice identité d'ordre n et en déduire les solutions du système différentiel.

J'avais plusieurs questions :
- Je vois bien le rapport avec la matrice , qui me permet de me ramener à un système d'ordre 1, mais pas avec ...
- Mis à part ce problème de signe, comment diagonaliser une telle matrice ?
Si on note
Je pense pouvoir dire sans me tromper que , mais je ne vois franchement pas pourquoi M serait diagonalisable : si A est nilpotente non nulle par exemple, M ne risque pas d'être diagonalisable !

Admettons qu'il y ait une erreur d'énoncé, quelles hypothèses devrais-je faire sur A pour continuer ? (et surtout, comment continuer ?)


Merci de votre aide, encore une fois... !
-----

[invite6b1e2c2e]

Salut,

C'est exact, il manque des hypothèses. C'est effectivement en regardant le carré de la matrice que ça devient très clair.

Cela dit, je ne sais pas quelles sont les applications que tu attends, donc ça va être un peu dur de te donner la "bonne" hypothèse. Pour ma part, ça me fait penser à l'équation des ondes (disons semi-discrétisée en espace), et dans ce cas, on peut supposer que la matrice A est autoadjointe. Pour être plus précis, j'ai en tête une matrice N*N, avec 2/h sur la grosse diagonale et -1/h sur la sur et sous diagonale (matrice de discrétisation du laplacien en 1D).

Bon courage,
rvz

[g_h]

Salut,

Merci déjà pour ta réponse.
En fait, c'est un simple exo de maths, sans aucune application derrière.
(sinon, je n'ai pas encore vu les endomorphismes autoadjoints)

J'ai de plus en plus l'impression qu'il manque la moitié de l'énoncé...