Probabilités, Covariance, Corrélation

[jaimelesmaths123]

Bonjour,

J'ai une question probabilistique qui me pose problème, alors je vous la soumets. La voici :

On interroge 100 personnes en leur demandant leur avis entre 4 versions de plusieurs objets. La première version est une version plutôt sombre, la deuxième plutôt colorée, la troisième plutôt simpliste et la quatrième plutôt élaborée.
On se retrouve ainsi avec un tableau de données du genre :
Objet 1 - V1:19 v2:29 v3:44 v4:8
Objet 2 - V1:14 v2:21 v3:53 v4:12
Objet 3 - V1:28 v2:12 v3:16 v4:44
Objet 4 - V1:3 v2:72 v3:10 v4:5
Objet 5 - V1:58 v2:12 v3:23 v4:7

La question est la suivante : Si l'on interroge 100 000 personnes, combien vont préférer les 5 V4 ? On dispose des choix des 100 personnes interrogées, et pas une seule n'a préféré les 5 V4.

Il va de soi que l'intérêt n'est pas la réponse en elle-même mais le raisonnement.

8%*12%*44%*5%*7% n'est bien entendu pas la réponse. Je pense qu'il faut calculer la corrélation, ou la covariance, entre les différents objets, mais je ne vois pas quoi en tirer.

Pouvez-vous m'aider ?

D'avance merci
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[gg0]

Bonjour.

Il s'agit ici de mathématiques appliquées. Comme toujours, en maths appliquées, il faut bien définir les objets utilisés et les hypothèses que l'on fait (en supposant que ces hypothèses sont réalistes). Pour l'instant, ton message est loin d'être clair :
* Tableau de valeurs : Que sont ces nombres ? des pourcentages ? dans ce cas, de quoi ?
* Comment ont été choisies les 100 personnes, et leur lien avec les 100 000 ?
* Comment définit-on "préférer" dans "préférer les 5 V4" ?
* Le tableau permet-il de savoir, parmi les 100 personnes, combien ont préféré les 5 V4 ? Si ce n'est pas le cas, on voit mal comment répondre à une question hypothétique à laquelle on ne sait pas répondre dans le concret.

Ce n'est qu'une fois qu'une question est bien posée qu'on peut essayer de trouver des outils mathématiques pour la traiter. En tout cas, les notions de corrélation et de covariance ne me semblent pas pertinentes pour l'instant.

En fait, ce genre de problème nécessite une bonne connaissance des probabilités, et des bases de la statistique inférentielle (théorie de l'estimation). Des connaissances que tu peux acquérir seul, en étudiant dans des livres de statistiques.

Pour quelle raison poses-tu cette question ?

[jaimelesmaths123]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Tableau de valeurs :
Ces nombres ne sont pas des pourcentages, ils correspondent au nombre de personnes ayant choisi telle ou telle version de l'objet.
Ces personnes ont été choisies au hasard parmi la population. Les 100 000 également.
"Préférer" = "choisir"
Le tableau ne permet pas de savoir, parmi les 100 personnes, combien ont préféré les 5 V4. Mais comme je l'ai dit "On dispose des choix des 100 personnes interrogées, et pas une seule n'a préféré les 5 V4.".

J'espère que mes réponses sont claires

Je me pose la question car je suis arrivé à ce cas suite à une discussion avec des amis, et je suis curieux!

Merci pour votre aide

[minushabens]

Le plus naturel pour analyser ce genre de données est de considérer simultanément les 5 choix de chaque individu. En gros, le tableau que tu montres ne sert à rien, et il faut repartir du tableau 100x5 des 5 choix de chaque individu. Tu pourras regarder si les choix sont indépendants ou non.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jaimelesmaths123]

Le plus naturel pour analyser ce genre de données est de considérer simultanément les 5 choix de chaque individu. En gros, le tableau que tu montres ne sert à rien, et il faut repartir du tableau 100x5 des 5 choix de chaque individu. Tu pourras regarder si les choix sont indépendants ou non.

Merci pour ta réponse. Donc comme personne n'a simultanément choisi les 5 V4 sur les 100 personnes, cela sera la même chose pour les 10 000 ? Cela ne me parait pas très correct... C'est pour ça que je pense qu'il faut se servir du nombre de personne ayant choisi la V4 pour chaque objet

[minushabens]

Merci pour ta réponse. Donc comme personne n'a simultanément choisi les 5 V4 sur les 100 personnes, cela sera la même chose pour les 10 000 ? Cela ne me parait pas très correct...

qui a dit ça?

[jaimelesmaths123]

J'avais compris ça de ton intervention, my bad.

Donc tu me suggères de repartir du tableau 100x5 des choix de chaque individu pour regarder si les choix sont indépendants ou non. C'est bien d'une histoire de covariance ou de corrélation qu'il s'agit ? Une fois que j'ai calculé cette corrélation (je ne sais pas encore comment faire), si je trouve une corrélation, en quoi cela m'avance-t-il ? Je ne vois pas comment je vais pouvoir passer d'un 0 (0 personnes ont choisi 5 V4) à quelque chose de non nul. Mon intuition mathématique (si l'on peut dire ça) me suggères de multiplier les 5 valeurs trouvées pour les V4, et de les multiplier à nouveau par un coefficient qui prendrait en compte la corrélation, mais c'est tout...

[gg0]

On est dans un des cas où l'analyse statistique n'offre plus de prise sur la réalité. Raisonnablement, on peut penser que si sur 100 personnes prises au hasard, aucune n'a choisi les 5 V4, dans la population générale, il est probable que très peu d'entre eux choisiront les 5 V4.
On mathématise parfois cela par une analyse de maximum de vraisemblance. En gros, un résultat dépendant d'une valeur d'un paramètre est la conséquence d'un choix aléatoire. On prendra comme la plus vraisemblable la valeur pour laquelle la probabilité d'obtenir ce résultat est la plus grande.
Dans ton cas, soit p la probabilité pour un individu de la population dont on a tiré l'échantillon de 100 de choisir les 5 V4. La loi du nombre d'individus parmi les 100 qui ont choisi les 5 V4 est une loi binomiale B(100,p) et la probabilité qu'on obtienne 0 est (1-p)¹⁰⁰. Le maximum de vraisemblance est obtenu pour ... p=0. le plus vraisemblable est donc qu'aucun individu ne choisisse 5 V4, même parmi 100000.
Bien sûr, ce n'est pas satisfaisant, et la proba pour 1 individu sur 100000, ou 2 ou 3 est très proche (0,999; 0,998;0,997), ce qui montre bien qu'on peut facilement avoir quelques individus. Par contre, qu'il y en ait 1 sur 100 est déjà peu probable (0,366), et on prendrait des risques à parier qu'ils seront plusieurs dizaines.

En général, les statisticiens considèrent que ce genre de cas ne permet pas de conclure. C'est une opinion de spécialistes, pas un résultat mathématique, bien sûr.

Une étude plus fine des motivations de choix permettrait peut-être de faire plus, mais je ne crois pas que la connaissance des 100x5 choix permette de faire mieux (même si on peut en déduire des modèles dont la pertinence risque d'être faible).

Cordialement.

NB : J'avais un peu raté l'info "pas une seule n'a préféré les 5 V4", faute de bien comprendre le tableau.

[minushabens]

si je trouve une corrélation, en quoi cela m'avance-t-il ?

De ce que je comprends, tu es à un stade où tu n'as pas beaucoup d'informations sur les choix de tes sujets. A mon humble avis, il faut commencer par une phase d'analyse des données avant d'attaquer la modélisation. Pour calculer la probabilité qu'aucune de cent mille personne ne fasse tel choix, il faut bien un modèle probabiliste. Or ce modèle tu ne pourras le formuler qu'après avoir examiné les choix faits par les individus de ton échantillon. Je commencerais par essayer d'obtenir une représentation graphique de mon expérience. L'analyse des correspondances me semble un outil de choix ici.

[jaimelesmaths123]

Et dans le cas où 1 personne parmi les 100 a choisi les 5 V4, qu'est-ce que cela changerait selon vous ? On ne pourrait plus avoir 0 individu comme réponse

[gg0]

Bonjour J'aimelesmaths123.

Si c'est à moi que tu réponds, il te suffit de reprendre la méthode avec 1 sur 100 et tu trouveras que le maximum de vraisemblance donne une proportion de 1/100 dans la population générale donc 1000 personnes sur les 100000.
Ce qui est bien dans cette mathématisation, c'est qu'elle donne les résultats intuitifs.

Cordialement.

[minushabens]

Par contre le problème avec zéro c'est qu'il est sur la frontière de l'intervalle dans lequel se trouve le paramètre à estimer (la probabilité de choisir les 5 V4). On n'a donc pas d'équation de vraisemblance (car ce n'est rien d'autre que l'équation d'Euler) , pas d'information de Fisher, pas de normalité asymptotique (car elle résulte du développement à l'ordre 2 de la vraisemblance).