(Probabilités) Espérance et matrice de covariance d'un couple

[invitebb921944]

Bonjour,
J'ai un petit souci sur l'exercice suivant :

Soit une variable aléatoire à valeurs dans suivant la loi uniforme sur le carré , i.e. admettant la densité . Calculer l'espérance et la matrice de covariance de .

En fait par définition, on sait que l'espérance de est le vecteur sauf qu'on ne connait pas la loi de et de . Je dirais bien que c'est la loi uniforme sur mais c'est surement faux et je ne vois de toute façon pas comment le justifier.

Merci pour votre aide.
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[invitec5eb4b89]

Je pense que ton intuition est la bonne : ta densité respecte des conditions d'intégrabilité suffisantes pour qu'on puisse lui appliquer le théorème de Fubini (il me semble), donc on peut définir les densités marginales comme étant

• 
• 

Et tu peux en déduire les moments d'ordre 1 des deux variables marginales et ?

[invitea07f6506]

* Si tu as déjà intégré des fonctions à valeur dans des espaces de Banach (par exemple en physique) :



Il suffit de remarquer les symétries de C (symétrie centrale, par exemple) pour conclure.

* Sinon, en repartant des définitions :



Le théorème de Fubini-Lebesgue permet de conclure très vite.

[invitebb921944]

Merci pour cette réponse.
Je n'arrive pas toutefois à faire le calcul en utilisant cette écriture :

Mes bornes seront -1/2 et 1/2 mais par quoi remplacer ? Ce qui me gêne, c'est le fait de calculer l'intégrale par rapport à une variable d'une fonction de deux variables, fonction qui n'est pas très explicite (puisque les deux variables en question n'interviennent que dans le paramètre de l'indicatrice...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec5eb4b89]

Peut-être faut il poser



?

[invitebb921944]

Merci beaucoup à vous deux !
Je vais essayer aussi le coup de la symétrie...

[invitebb921944]

Un deuxième souci, je poste ici pour ne pas créer un nouveau sujet (en espérant que ça ne passera pas inapercu).

est une suite de v.a. de loi uniforme sur ou est un réel strictement positif.

La question est la suivante :
1) Montrer que converge presque sûrement et en moyenne quadratique vers . Calculer .

Pour la convergence presque sure, la loi faible des grands nombres suffit.
Pour la converge en moyenne quadratique, j'utilise :
.
Je veux donc montrer que le terme de droite tend vers 0.
Mais je ne vois pas comment calculer car je ne connais pas la loi de .
Quelqu'un aurait une idée ?
Est-il envisageable de trouver la loi de en utilisant le produit de convolution et d'en déduire la loi de ? (j'ai pas compris grand chose au produit de convolution donc bon...)
Et une question d'ordre plus général :
Quand on me dit "montrer que ... admet une densité et la calculer". Dois-je seulement la calculer et puisque je la trouve, c'est qu'elle existe ou y'a t'il de réels théorèmes d'existence que je me dois d'utiliser en tant qu'élève modèle ?


Merci pour votre aide.

[invitebb921944]

Je vais peut-être m'en sortir en calculant la fonction de répartition de , puis en dérivant.... J'essaie.

[invitec5eb4b89]

La loi forte des grands nombres te donne aussi la convergence en moyenne quadratique, non ?

[invitebb921944]

Mon cours n'utilise la loi forte que pour la convergence presque sure.

En revanche, j'ai trouvé sur wikipedia :
si converge en probabilité vers et si toutes les variables aléatoires sont presque sûrement bornées, alors converge vers en moyenne d'ordre .
Est-ce de ça que tu veux parler ?
Car si ma suite converge p.s., elle converge aussi en proba et puisque mes sont toutes presque surement bornées, ce théorème serait vrai.
Je vais regarder mieux dans mon cours mais je ne crois pas avoir lu tout cela.

Merci en tout cas.

[invitebb921944]

Suis-je bête... Il suffit d'utiliser la linéarité de la variance car mes sont indépendantes... Ca devrait marcher !

[invitea07f6506]

Les v.a. sont indépendantes, non ?
Si oui, pas la peine de chercher compliqué :



Edit : grilled, encore.

[invitebb921944]

Merci tout de même

[invitebb921944]

Rebonjour (décidément je n'arrête pas aujourd'hui !). J'aimerias juste une vérification :

On me demande de montrer que converge presque surement vers (où est une suite de v.a. indépendantes suivant toute la loi uniforme sur , réel strictement positif.)

J'écris la chose suivante :
( réel strictement positif)
. Donc

Le premier événement est impossible par hypothèse, on a donc :

qui est strictement inférieur à 1.
Par conséquent, .
On peut en déduire la convergence presque sûre.

Est-ce que c'est bon ?

[invitea07f6506]

Pas tout à fait.

Ce qui tu viens de montrer, c'est que :

(1)

Autrement dit, qu'à strictement positif fixé, presque sûrement la limite des va être supérieure à .

Ce que tu voudrais montrer, c'est que presque sûrement, pour tout strictement positif, la limite des va être supérieure à . Le problème, c'est que n'est pas dénombrable : on ne peut donc pas intervertir directement le "presque sûrement" et le "pour tout epsilon".

Pour corriger ce problème, il suffit de dire que la proposition (1) est démontrée, par exemple, pour tout 1/n, n entier naturel strictement positif (ou pour tout élément de , ça ne change rien). Etant donné qu'il n'y en a qu'un nombre dénombrable, on peut faire l'interversion :



Cette dernière proposition étant équivalente à celle que tu cherches à démontrer.

[invitebb921944]

Merci pour ces précisions, je n'aurais pas soupçonné un tel problème...