Bonsoir à tous,
en relisant mon cours sur les fonctions à plusieurs variables, je me suis posée une question conçernant le théorème de Shwartz, en effet, pourquoi l'égalité nécéssite que la fonction soir définie sur un ensemble ouvert ? quelle importance a donc la frontière de cet ouvert ?
Je vous remercie pour votre attention, vos réponses,
très cordialement,
Bonjour.
Je ne sais pas quel est le théorème concerné (il y a plusieurs théorèmes de Schwarz ou de Schwartz). Si c'est celui sur les dérivées partielles croisées, c'est simple : la notion de dérivées partielles est essentiellement définie sur des voisinages de points, donc des ouverts.
Pourquoi voudrais-tu que cet ouvert ait une frontière ?
Cordialement.
Bonsoir,
d'abord merci pour votre réponse. Il s'agit bien du théorème sur les dérivées croisées, qui n'est vrai à condition que les dérivées partielles existent et sont continues, et à condition que la fonction soit définie sur un ensemble ouvert. Or, pas très à l'aise avec les notions de topologie je m'aide de la défintion d'un ouvert : En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière et c'est là que je ne comprends pas. Comment cela, ne contient aucun point de sa frontière, et quelle importance pour les dérivées partielles ?
Je vous remercie de votre aide,
Très cordialement;
En fait avec votre message précédent je crois comprendre : pour un point situé à la frontière d'un ensemble, il n'y a pas de voisinage centré en ce point qui soit tout à fait dans l'ensemble. C'est ça ?
Exactement. Tout voisinage va "sortir" de l'ensemble, ce qui peut poser des problèmesEnvoyé par Palmer Eldritch
Bonjour Palmer Eldritch.
Il vaudrait mieux trouver une vraie définition de "ouvert". Pour les espaces, une définition assez classique et utile est
Cirdualement.
Bonjour,
Merci à tous pour vos réponses,
j'ai bien compris,
A la prochaine,
RE-bonsoir,
En fait, puisque je suis en pleine révision pour mes partiels, je sollicite votre aide encore une fois, si vous le voulez bien :
voilà pour un exercie, on me demande de montrer que la fonction à deux variables (x,y) telle que
f(x,y) = (xy)/x+y si x+y est différent de 0, et
f(x,y) = 0 sinon
n'est pas continue en (0,0) mais sa restriction à R+ x R+ l'est. J'ai réussi à montrer que la fonction n'était pas continue en (0;0) (la limite lorsque (x;y) tendent vers (0;0) selon deux chemins différents n'est pas la meme ) mais maintenant je ne comprends pas la restriction qu'on impose à f dans la deuxième partie de la question, pouvez-vous m'aider (une fois de plus ) ?
je vous remercie à tous pour votre attention,
Tout simplement, il s'agit de voir qu'une fonction n'a pas forcément les mêmes propriétés locales (continuité...) ou asymptotiques (limites...) que ses dérivées.mais maintenant je ne comprends pas la restriction qu'on impose à f dans la deuxième partie de la question, pouvez-vous m'aider (une fois de plus ) ?
Par exemple, pour prendre un exemple plus simple avec une fonction d'une seule variable. On peut très facilement en trouver une qui soit non continue sur R mais en revanche, continue sur R+.
Par exemple, soit g définie ainsi :
g(x) = 1 + x pour x >= 0
g(x) = x - 1 pour x < 0
g est-elle continue sur R ? Non, car en 0 elle est discontinue. En effet, la limite "à gauche" (x -> 0 par les valeurs négatives) de f(x) n'est pas égale à f(0) = 0. En revanche, la limite "à droite" (x-> 0 par les valeurs positives) vaut bien f(0).
La fonction g est alors continue "à droite en 0", mais pas "à gauche en 0". Du coup, on ne peut pas dire "elle est continue en 0"
En revanche, la restriction de g à R+ est bel et bien "continue en 0", puisque 0 étant point de la frontière de R+, il n'y a pas de "limite à gauche" à considérer en ce point.
L'idée reste la même avec les fonctions de deux variables. Tu as montré que ta fonction f, considérée hors restriction, n'était pas continue en (0;0).
Si tu visualises le graphe de f, qui est en deux dimensions (surfaces), cela veut en fait dire que, quand on approche le point de la colline situé en (0;0), il se trouve que sur certains côtés, c'est cool, on a la terre ferme et on peut avancer dans certaines directions; par contre, sur d'autres côtés, on est au bord d'un précipice, et on ne peut pas avancer (à moins de vouloir faire une chute dans une discontinuité, mais l’atterrissage...)
La restriction à R+ x R+ ne considère la fonction que sur cet espace. Si tu représentes le plan R x R, cet espace correspond à toute la zone couverte par le quart de graphique situé en haut à droite. On peut arriver vers (0;0) de tous pleins de direction en marchant sur cette zone. Et il se trouve qu'on va arriver sans encombre jusqu'à f(0;0).
Pour le montrer, il faut parvenir à évaluer la limite de f(x,y) = (xy)/x+y quand x -> 0+ et y -> 0+ (cela comprend toutes les possibilités de chemins se dirigeant vers (0;0) depuis le quadrant supérieur du plan).
Cordialement,
Rizmoth.
Rizmoth. Professeur particulier.
Ok, merci beaucoup à tous, j'ai compris cet exercice,
bonne journée,
