Surface minimale de Lawson

[invite2c46a2cb]

Bonjour,

La surface minimale de Lawson, dont voici une illustration : http://imaginary.org/fr/node/556, est une surface minimale de genre 2, solution du problème de Plateau, si j'en crois diverses sources (le problème de plateau consistant à montrer l'existence de surface(s) minimale(s) pour un contour donné).

Ma question : Quel contour borde la surface de Lawson ?

Je vous remercie d'avance.
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[Universus]

Bonjour,

Les surfaces de Lawson semblent être des surfaces compactes (c'est-à-dire fermées et sans bord) de la 3-sphère. Ainsi, de prime abord, elles ne sont pas liées à un problème de Plateau. Ceci dit, étant donné n'importe quelle courbe fermée simple possiblement disconnexe (probablement régulière) sur une telle surface, une partie de la surface délimitée par cette courbe solutionne nécessairement le problème de Plateau associé.

[invite2c46a2cb]

Bonjour Universus, et merci pour votre réponse !

Ceci dit, étant donné n'importe quelle courbe fermée simple possiblement disconnexe (probablement régulière) sur une telle surface, une partie de la surface délimitée par cette courbe solutionne nécessairement le problème de Plateau associé.

Comment savoir que "nécessairement", la surface délimitée solutionne le problème de Plateau ? Et quelle forme donner à ces courbes fermées ? Pour une courbe fermée incluse dans un plan, la surface minimale n'est-elle pas elle aussi plane, et incluse dans ce même plan, ce qui ne semble pas coller avec n'importe quelle partie de la surface de Lawson ?

Enfin, pour être sûr, au delà des "deux gros trous" centraux qui font de la surface une surface de genre 2, quid des "petits trous plus ou moins carrés" qui recouvrent la surface sur l'illustration ? Sont-ils seulement là dans un soucis de représentation ?

Je vous remercie d'avance.

[Universus]

Bonjour,

Ceci dit, étant donné n'importe quelle courbe fermée simple possiblement disconnexe (probablement régulière) sur une telle surface, une partie de la surface délimitée par cette courbe solutionne nécessairement le problème de Plateau associé.

Comment savoir que "nécessairement", la surface délimitée solutionne le problème de Plateau ? Et quelle forme donner à ces courbes fermées ? Pour une courbe fermée incluse dans un plan, la surface minimale n'est-elle pas elle aussi plane, et incluse dans ce même plan, ce qui ne semble pas coller avec n'importe quelle partie de la surface de Lawson ?

Vous avez raison pour le plan : toute courbe fermée simple du plan délimite une portion du plan qui est solution au problème de Plateau associé. Vous semblez pas là soulever un contre-argument quant à l'arbitraire des courbes auquel j'avais pensé et qui ne me semblait pas problématique, mais j'en doute maintenant. J'y reviens plus bas.

Le problème de Plateau consiste à trouver une fonction ( étant une courbe donnée, l'ouvert U et la surface auquel il appartient sont aussi indéterminés) solutions de l'équation différentielle (c'est-à-dire que la courbure moyenne du paramétrage est nulle ; ceci est lié de près au problème de Dirichlet). Ce problème est le penchant « différentiel » du problème des variations de la fonctionnelle superficie. Or, la satisfaction d'une équation différentielle en un point donné repose uniquement sur les données très près de ce point, pas sur les conditions au bord (qui concernent davantage l'existence et l'unicité d'une solution globale ayant certaines propriétés autres que de solutionner une équation différentielle ; j'y reviens). Donc une fois une solution globale obtenue, en prenant « n'importe quelle courbe C' », on ne change pas la satisfaction de l'équation différentielle en chaque point : on obtient ainsi une solution à un problème de Plateau auxiliaire, solution incluse dans la précédente.

C'est très analogue au cas des géodésiques. Une géodésique est une courbe (c'est-à-dire dont les extrémités sont et ) vérifiant une équation différentielle dite géodésique. Ce problème est le penchant « différentiel » du problème des variations de la fonctionnelle longueur. Une fois une solution globale obtenue, en prenant n'importe quels autres points et sur cette courbe solution, on ne change pas la satisfaction de l'équation différentielle en chaque point : on obtient ainsi une autre solution au problème des géodésiques, solution incluse dans la précédente.

Je reviens au « n'importe quelle courbe C' ». On a effectivement l'impression qu'en intersectant une surface minimale avec un plan, la courbe obtenue sous-tend deux surfaces minimales différentes, celle planaire ayant assurément une superficie moindre. En regardant quelle est l'équation différentielle , nous voyons qu'il s'agit d'une équation différentielle non-linéaire et l'unicité n'est peut-être pas garantie (du moins si on ne spécifie pas les plans tangents de la surface sur le bord). Si on prend une courbe disconnexe qui « perçoit » suffisamment la topologie globale de la surface, l'unicité en découle peut-être.

Bref, il y a à la fois une souplesse et une rigidité dans le choix de la courbe. Pour les surfaces de Lawson, je ne saurais dire.

Enfin, pour être sûr, au delà des "deux gros trous" centraux qui font de la surface une surface de genre 2, quid des "petits trous plus ou moins carrés" qui recouvrent la surface sur l'illustration ? Sont-ils seulement là dans un soucis de représentation ?

Oui, je pense que c'est pour aider à visualiser la courbure de la surface. C'est peut-être aussi un peu une contrainte de l'imprimante 3D, je ne sais pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c46a2cb]

Le problème de Plateau consiste à trouver une fonction ( étant une courbe donnée, l'ouvert U et la surface auquel il appartient sont aussi indéterminés) solutions de l'équation différentielle (c'est-à-dire que la courbure moyenne du paramétrage est nulle ; ceci est lié de près au problème de Dirichlet)

Je crois que je peine à faire la distinction entre "surfaces minimales" (dont la définition est donnée par une courbure moyenne nulle, ce que je comprends), et "surfaces d'aire minimale". Visiblement, les surfaces minimales ne minimisent pas forcément l'aire, comme il l'est dit sur ce diaporama, page 11 : https://www.ljll.math.upmc.fr/~goldm...ural_GT_CV.pdf. Mais alors, quel est leur intérêt dans le problème de Plateau ?

Ce problème est le penchant « différentiel » du problème des variations de la fonctionnelle superficie. Or, la satisfaction d'une équation différentielle en un point donné repose uniquement sur les données très près de ce point, pas sur les conditions au bord (qui concernent davantage l'existence et l'unicité d'une solution globale ayant certaines propriétés autres que de solutionner une équation différentielle ; j'y reviens). Donc une fois une solution globale obtenue, en prenant « n'importe quelle courbe C' », on ne change pas la satisfaction de l'équation différentielle en chaque point : on obtient ainsi une solution à un problème de Plateau auxiliaire, solution incluse dans la précédente.

C'est très analogue au cas des géodésiques. Une géodésique est une courbe (c'est-à-dire dont les extrémités sont et ) vérifiant une équation différentielle dite géodésique. Ce problème est le penchant « différentiel » du problème des variations de la fonctionnelle longueur. Une fois une solution globale obtenue, en prenant n'importe quels autres points et sur cette courbe solution, on ne change pas la satisfaction de l'équation différentielle en chaque point : on obtient ainsi une autre solution au problème des géodésiques, solution incluse dans la précédente.

Je reviens au « n'importe quelle courbe C' ». On a effectivement l'impression qu'en intersectant une surface minimale avec un plan, la courbe obtenue sous-tend deux surfaces minimales différentes, celle planaire ayant assurément une superficie moindre. En regardant quelle est l'équation différentielle , nous voyons qu'il s'agit d'une équation différentielle non-linéaire et l'unicité n'est peut-être pas garantie (du moins si on ne spécifie pas les plans tangents de la surface sur le bord). Si on prend une courbe disconnexe qui « perçoit » suffisamment la topologie globale de la surface, l'unicité en découle peut-être.

Je comprends un peu mieux ; même si je pense que j'aurais énormément de mal à ressortir un tel discours pour justifier la solution, pour cette surface, au problème de Plateau. Je pense que j'ai encore beaucoup à apprendre en mathématiques pour pouvoir maîtriser ces notions, hélas.. Je vous remercie néanmoins pour cet éclaircissement.