Etude des élements propres d'une matrice carrée d'ordre n

[invite1bf22c0f]

Bonjour,

Lors d'un exercice dont j'ai la correction, je comprends mal le raisonnement suivi,

Soit A, une matrice carrée d'ordre n, symétrique réelle, telle que les valeurs placée sur sa diagonale "inverse" soient égales à 1, 0 sinon.
Après avoir déterminé les valeurs propres de A (1 et -1), on chercher à déterminer ses vecteurs propres en étudiant l'espace E_λ(A).
D'après la correction l'étude de cet espace correspond à:

(x₁)

(x_n = x₁

(...)

(x_n-1 = x₂

(...)

∈ E_λ(A) <=>

....

(...)

(x₂ = x_n-1

(x_n)

(x₁ = x_n

Or je ne comprends pas comment on arrive à parvenir à ce système à partir de A.
La réponse est probablement simple néanmoins elle m'échappe.

Si quelqu'un pouvait m'aider,
Merci d'avance !

P.S: Désolé pour la présentation
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[gg0]

Bonjour.

Pour ce genre de question, ça vaut le coup de s'essayer au LaTeX.

A priori, il y a un problème, car il y a deux possibles, et ta définition ne donne qu'un ensemble. Sinon, ne serait-ce pas simplement la définition de "vecteur propre" utilisée avec cette matrice spécifique (auquel cas, il manque des à la fin).

Cordialement.

NB : Tu peux regarder ce qui se passe en dimension 3 ou 4.

[invite1bf22c0f]

Merci gg0 pour ta réponse,

J'ai effectivement mal écrit le problème donc je le réecrit, au propre et en Latex cette fois-ci:
Soit A, matrice carrée d'ordre n de forme telles que les valeurs placée sur sa diagonale "inverse" soient égales à 1, 0 sinon :


Après avoir déterminé les valeurs propres de A (1 et -1), on chercher à déterminer ses vecteurs propres en étudiant l'espace Eλ(A).
D'après la correction l'étude de cet espace correspond à:



Je n'ai pas trouvé comment faire l'accolade devant le système d'équation ><

[Médiat]

Bonjour,

Il suffit de calculer les coordonnées de l'image de (x1, x2, ... xn)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Les éléments de sont des vecteurs propres associés à la valeur propre . La définition, traduite en n équations donne exactement ton second membre.

Cordialement.

[invite1bf22c0f]

Merci à vous deux !

Effectivement, il suffisait que je me rapporte à la définition d'un sous-espace propre.

Merci encore ~