Bonjour,
A partir d'un problème physique, je suis confronté à la question suivante.
En dimension 3, disposant des deux expressions d'un même vecteur quelconque dans deux bases différentes, est-il possible de déterminer la matrice de passage d'une base à l'autre ? Je m'autorise des bases orthonormales directes si ça peut aider.
Quelqu'un a-t-il une indication pour déterminer cette matrice ?
Merci !
Bonjour.
Dans une base (i,j,k), les coordonnées de i sont (1,0,0). Quelles sont ses coordonnées dans une base (i, aj+bk,cj+dk) (avec évidemment ad-bc non nul) ?
Cordialement.
Je ne sais pas si cela pourra t'aider ou non mais bon..
Si tu à deux base de dim3 alors tu peux écrire la decomposition de ta base "compliqué" avec ta base orthonormales directe et ensuite le mettre sous matrice
puis alors tu n'as pu qu'as inversé cette matrice ( forcément inversible ) .. tu auras donc un changement de base.
Cordialement.
Merci pour vos réponses.
gg0,
aj+bk et cj+dk ne sont pas colinéaires car ad-bc non nul (ou sinon ils sont nuls)
Donc (i, aj+bk,cj+dk) est bien une base.
La matrice de passage de (i,j,k) vers (i, aj+bk,cj+dk) est
1 0 0
0 a c
0 b d
Soient X = (1,0,0), X' = (1,y,z)
i + y(aj+bk) + z(cj+dk) = i + j + k
Donc
ya + zc = 1
yb + zd = 1
z = ( b - a) / ( bc - ad )
y = ( d - c ) / ( ad - bc )
vu que ad-bc non nul.
Et
M X' = X
Merci, donc lorsque j'ai deux expressions d'un même vecteur dans deux bases ayant un vecteur commun, j'ai un moyen de trouver la matrice de passage.
Quid de la généralisation?
Comme tu n'as pas répondu à ma question, mais fait des calculs suivant ta fantaisie, tu as raté l'essentiel : Dans les deux bases, i a les mêmes coordonnées. Donc dans une infinité de bases, i a ces mêmes coordonnées. Comment peux-tu espérer trouver laquelle c'est ?
Je n'ai pas l'habitude de faire de calculs par fantaisie.
Ma réponse à ta (première) question est : C'est le vecteur (1,y,z), où
z = ( b - a) / ( bc - ad )
y = ( d - c ) / ( ad - bc )
Est-ce faux ?
Il va falloir que tu apprennes le début : Qu'est-ce que les coordonnées d'un vecteur dans une base. Ici, il n'y a aucun calcul à faire (ta réponse est évidemment fausse), car i est un vecteur de la base dans les deux cas.
Désolé, mais parler de matrice de passage alors qu'on ne sait pas ce que sont les coordonnées n'a aucun sens.
Je me suis trompé, c'est (1, 0, 0).
Voilà. Et comme on peut avoir des repères différents mais les mêmes coordonnées, la donnée des coordonnées dans le nouveau repère ne détermine pas le nouveau repère.
Effectivement, et ne m'arrange pas !
Par contre, sur la base des notations de ma première réponse (abstraction faite des erreurs!), il existe tout de même des vecteurs pour lesquels ça marche, par exemple i+j+k qui donne i+yj+zk dans la nouvelle base, avec comme matrice de passage celle notée plus haut, n'est-ce pas ?
Je me pose donc 2 nouvelles questions :
- Quels sont les vecteurs qui permettent la détermination de la matrice de passage d'une base à une autre, quelconques toutes les deux ?
- Et surtout comment la déterminer, connaissant les deux coordonnées d'un de ces vecteurs dans les deux bases ?
Avec un seul vecteur, tu ne peux pas. J'ai simplifié en choisissant i dans mon contre exemple, mais c'est général (*). En traitant ça algébriquement, il te faut trouver la matrice de changement de base, soit 9 coefficients, à partir de la connaissance de 3 coordonnées, donc de trois équations.
Si tu connais les coordonnées de 3 vecteurs, le problème devient généralement soluble (9 équations pour 9 inconnues). Il peut y avoir d'autres situations qui permettent de trouver le nouveau repère, elles sont peut-être dans ton problème de départ.
Cordialement.
(*) Il y a une infinité de repères dans lesquels ton vecteur a ces coordonnées-la.
