Question bête à propos du Polynôme de Lagrange.

[invite7b6d20b4]

Bonjour à tous,

Sujet: Polynôme de Lagrange

Question à propos de l'interpolation et l'extrapolation.

L'interpolation c'est trouver une fonction qui passe par des points.
L'extrapolation c'est un peu "anticiper" comment la fonction va se comporter en un point encore indéterminé.
Imaginons une fonction continue quelconque sur [a;b] , imaginons maintenant que j'enlève une partie de son ensemble de définition ([a;c] tel que c<<b ) donc notre fonction a un "bout manquant " on est bien d'accord que plus on a de point pour faire le polynôme de Lagrange plus on sera précis sur la partie manquante.

p appartient aux entier naturel

Exemple: Prenons [a;c] et donc c-a la distance séparant a et c.
On fait la division euclidienne de c-a/p ---> q
on ne garde que le quotient.

on créé alors une suite U_n tel que U_n= q*n+a
donc on créé la liste [U_1 ; U_2 ;.... ; U_d] tel que U_d < ou = à c
et on créé la fonction f_d( [U_0 ; U_1 ;.... ; U_d] ) => [ f_d (U_0) ; .... ; f_d( U_d ) ]

Donc nous avons deux listes ( les antécédants et les images )

Imaginons maintenant une fonction qui avec deux séries associe un polynôme de Lagrange ( je ne peux pas le faire je ne connais pas latex et c'est trop compliqué pour moi )

Si on fait tendre p vers +inf on obtient donc un polynôme qui ressemble à la fonction de départ "quasi-exacte" sur [a;c] et donc.
Peut-on reproduire la fonction de départ sur [a;b] ?

La réponse sera non je pense mais avec quelle marge d'erreur? ( en fonction de l'éloignement du dernier point connu (ici c) ) on se doute bien que plus on sera loin de c plus on sera imprécis.

Autre question, si on applique ce théorème, pour tous les points on obtiendrais un développement limité pour tous les points ce qui serait assez fou. Exemple concret: on pourrait voir la fonction racine ( x^1/n ) ou e^(x) comme un développement limité en tout point!!! .. Après il faudra s'attendre à polynôme très complexe et surtout avec un degré qui tend vers + inf... Mais sur le papier ce serait possible?

Merci d'avance.

Cordialement Pierre.
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[pm42]

Si j'ai bien compris ce que tu veux faire, alors je pense que cela ne marche pas : tu as une infinité de fonctions continues qui sont égales sur [a,c] et qui sont totalement différentes sur [c,b].
Par exemple, je raccorde en c f(c) + 1/(b-x) - 1/(b-c) et j'ai une fonction qui tend vers l'infini en b. Si je fais f(c) - 1/(b-x) + 1/(b-c), elle tend vers -inf.

Ok, on n'est plus continu sur [a,b] mais je peux te faire une construction semblable et donc ton extrapolation ne pourra jamais couvrir tout ces possibles.

[gg0]

Bonjour.

Il faut bien voir ce que donne le polynôme d'interpolation de Lagrange. Pour n valeurs x_i et n valeurs y_i, on obtient le seul polynôme P, de degré n-1, qui vérifie pour i de 1 à n la condition P(x_i)=y_i. Mais si les valeurs sont données par une fonction (y_i=f(x_i)), le polynôme peut s'éloigner fortement de f, même entre deux points successifs. Essaie avec et les valeurs x_i égales à 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, par exemple. Regarde ce qui se passe entre 6 et 7. Et en dehors, pour une extrapolation, ça peut devenir catastrophique. Le même exemple le montre bien, l'erreur est de plus de 50 pour 0 et pour 10.

Je n'ai pas compris ce que tu dis sur des séries, mais déjà cela devrait te faire réfléchir. Si tu revviens sur cette histoire de séries, explique ce que tu veux faire.

Cordialement.

[invite332de63a]

Bonjour, le phénomène dont parle ggo s'appelle phénomène de Runge.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7b6d20b4]

Pardon Gg0, mais j'ai changer mes séries en liste et j'en ai oublié un dans le tas.. Enfin bon vous avez répondu à ma question mais alors je ne pensais pas du tout atterrir au phénomène inverse ( comme le dis Roberto-bender avec le phénomène de Runge qui ma bien éclairé sur le sujet.)
Merci à vous tous ( il y avait de l'idée mais bon )


Cordialement, Pierre.