Bonjour à tous,
j'ai une question en algèbre linéaire : Soit A une matrice, si A est a coefficients complexes, on peut trigonaliser A et affirmer que tr(A)=somme (valeurs propres) et que det(A)=produit(valeurs propres).
Qu'en est-il du cas ou les coéfficients de A sont réels?
On peut considérer que ses coefficients, réels sont des complexes (de partie imaginaire nulle), et appliquer les résultats précédents. J'ai bon?
Merci à vous!
Oui. Sauf qu'éventuellement, les valeurs propres ne sont pas réelles mais complexe.Envoyé par simon55
On peut considérer que ses coefficients, réels sont des complexes (de partie imaginaire nulle), et appliquer les résultats précédents. J'ai bon?
Pour le cas complexe, le polynôme caractéristique de ta matrice peut, dans C, se scinder. Donc la matrice est trigonalisable, ses valeurs propres sont les racines du polynômes etc... On peut dont en déduire les résultats énoncés sur le déterminant et la trace.
Pour le cas réel, on peut trigonaliser dans C, les valeurs propres ne sont donc pas nécessairement réelles, mais en tout cas conjuguées 2 à 2 car le polynôme caractéristique est à coefficient réel. Donc tu peux bien en déduire les résultats énoncés sur trace et déterminant.
Essaie de voir en factorisant dans R et dans C ton polynôme si tu ne peux pas retrouver le déterminant et la trace grâce aux valeur propres réelles et aux couples de valeurs propres complexes non réelles conjuguées.
Ps: on peut trouver le déterminant et la trace parmi les coefficients du polynôme caractéristique.
