Valeurs propres et états propres de l'opérateur dipôle

[halygraves]

Bonsoir,

Je suis sur un exercice de physique quantique où on nous donne l'observable "dipole" dont la matrice est :


Il y a deux questions, la première est de montrer que les valeurs possibles de la mesure de D sont +d et -d. Puis ensuite on doit déterminer le vecteur propre correspondant à la mesure +d.

Mon problème est le suivant, j'ai l'équation caractéristique :


Je trouve comme solutions les valeurs propres +id et -id, ce qui ne correspond pas aux valeurs attendues (et en plus, je crois que ce n'est pas possible d'avoir une valeur de mesure complexe pour une observable).

Est-ce que je me suis trompé quelque part ?

Je vous remercie d'avance d'une éventuelle réponse.
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[halygraves]

Bonjour,

Je me demande si mon problème ne vient pas du fait que je dois faire un changement de base. Dans l'exercice en question, je travaille sur un système à deux niveaux d'énergie Ea (|a>) et Eb (|b>) dont l'hamiltonien s'exprime .

On nous donne la condition initiale , ce qui m'a permis de déterminer .

C'est à ce moment là que est introduit dans la base par la matrice que j'ai donnée au premier message et qu'on nous demande les mesures possibles sur l'état .

Du coup, je me demande s'il n'y a pas une base dans laquelle il est plus pertinent de travailler pour montrer que les valeurs propres sont , parce que ma matrice ici n'est pas auto-adjointe comme elle devrait l'être.

Merci d'avance.

[DarK MaLaK]

Salut, tu es sûr d'avoir la bonne expression de l'observable ? En remplaçant les 1 par des i dans la matrice, ça pourrait marcher mais si l'opérateur n'est pas auto-adjoint dans une base, je doute qu'il le devienne dans une autre.

[halygraves]

Salut !

Oui, je suis sûr de l'expression de la matrice, c'est dans un DM. Effectivement, j'ai essayé plusieurs changement de base du style (|a>+i |b> ; |a>-i |b>), mais je n'arrive toujours pas à trouver une matrice auto-adjointe (non diagonalisée par les valeurs propres + et - id).
Je vois pas comment faire pour le coup.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Murmure-du-vent]

dans la matrice c est des 1 ou des i ? prends une loupe.

[halygraves]

Ce sont bien des 1, après vérification et revérification

Ce serait vraiment une erreur d'énoncé alors ?

[coussin]

Ou alors est imaginaire pur...

[halygraves]

C'est précisément la remarque que je me suis faite !

Mais ça le fait pas trop si c'est d qu'on mesure.

[DarK MaLaK]

Sinon tu scannes ton exercice et tu le postes ici, on sort tous nos loupes et on verra bien si on trouve une autre explication qu'une erreur d'énoncé.

[halygraves]

D'acc' ! Voilà l'énoncé, il s'agit de la question 10.



Merci pour votre aide !

[Murmure-du-vent]

Je ne lis pas comme tu l'as interprété qu'on te demande quelles sont les valeurs propres de D.
On parle des resultats possibles de la mesure de D dans un etat donné. Ca semble un peu différent.

[halygraves]

Ah ? Je pensais que seules les valeurs propres de l'observable/la matrice D pouvaient être le résultat d'une mesure, quel que soit l'état du système ? Et qu'éventuellement, la mesure sur un état particulier ne pourrait donner qu'un sous-ensemble de toutes les valeurs propres possibles.

Du coup, comment on est censé faire ? Il faut trouver les valeurs propres de ?

Merci d'avance encore une fois.

[Murmure-du-vent]

Quand je lis mesure de D dans l'état \psi je pense à une valeur moyenne. Pour avoir deux resultats posssibles d et -d il faudrait faire la moyenne sur deux fonctions \psi(t) différentes. Je m'égare peut etre.

[Murmure-du-vent]

Ce que j'ai écrit précédemment ne mene à rien.
Comme la matrice dipole n'est pas hermitienne les valeurs propres n'ont pas a etre reelles. Comme le suggerait coussin recherche les valeurs propre parmi les imaginaires purs puis calcule les vecteurs propres.
Le but de l'exercice semble etre de montrer que les vecteurs propres n'étant pas orthogonaux des mesures repetees de D ne donnent pas les memes resultats (contraurement à H qui esr hermitien).

[Murmure-du-vent]

a> + i|b> et a> - i |b> sont vecteurs peopres de D et de ses multiples.
Ce ne sont pas des etats stationaires.

[halygraves]

D'accord, je vois, merci beaucoup !

Je vais essayer de creuser dans ce sens.

[karistef]

@haligraves :

On planche sur le même devoir!
As-tu posé la question sur le forum du cours? (Tes initiales sont A.B.?)

J'avoue que je ne comprends pas bien non plus, cela pourra être dû à une erreur de signe dans la matrice D, mais le prof a pourtant confirmé sur le forum du cours qu'elle était bien hermitienne, et donc à valeurs propres réelles...mais peut-être n'a-t-il pas relevé cette hypothétique erreur...

Et je ne vois pas bien pourquoi on devrait effectuer un changement de base...mais peut-être est-ce la solution...

[halygraves]

Ouaip, c'est bien moi !

Ben comme ça a été dit plus haut, je ne vois pas en quoi le changement de base permettrait d'y arriver. Quelle que soit la base, les valeurs propres sont toujours des imaginaires purs +-id... Après, j'apprends l'algèbre linéaire un peu sur le tas donc c'est pas évident.

[halygraves]

Au final, c'était une erreur d'énoncé et c'était des i.

Merci à tous !

[elboughdiri]

Est ce que vous pouvez me donner la correction de ce DM svp

la question 9 est faux à la place des 1 ont met des i