Transformées de Fourier de distributions

[invite8f6d0dd4]

Salut.

J'aurai des questions pour le calcul de TF "classiques".

En fait j'arrive pas à montrer que la TF de la fonction constante (au sens des distribution) donne le dirac :


Comment montrer que ça donne PHI(0) ?

J'ai le même soucis avec le calcul d'une TF d'une exp complexe :



Et vu que les intégrales ne sont pas absolument convergente je ne peux pas intervertir les 2 intégrales (et de toute façon j'aurai une intégrale non convergente si je le faisais).

Comment on procède donc par calcul direct ?

Merci.
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[inviteea028771]

Il faut se ramener à une intégrale convergente :





On peut alors utiliser Fubini :





On va alors se restreindre aux fonctions (on retrouvera le résultat par densité). On considère alors M tel que





Or est intégrable sur [-M,M], donc par le théorème de Riemann-Lebesgue, la seconde intégrale tend vers 0. On a donc










Et par densité de dans , on a bien que




Le facteur multiplicatif provenant de la définition de la transformée de Fourier choisie ici

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Merci de la réponse.

Pour le théorème de Fubini j'aurai juste une question car la définition sur wikipédia est un peu trop complexe pour moi (on parle d'espace mesurés et tout et je sais à peine ce qu'est la mesure de Lebesgue).

Es tu d'accord si je le résume comme ceci :

On peut intervertir deux intégrales si elles sont toutes les deux absolument convergentes, et les bornes d'intégrations peuvent éventuellement être infinies.

Concernant l'argument de densité : en gros D est dense dans S, donc ça veut dire que tout point de S est limite d'une suite à valeur dans D (il me semble)
Mais du coup comment ça s'utilise dans le détail pour justifier que si ton résultat est vrai dans D' il l'est dans S' ? (Je suis vraiment un gros débutant de la topologie, je connais juste quelques définitions).

Merci.

[inviteea028771]

Simplement comme ça :

Soit une suite de qui tend vers . Alors



Puisque :
1) une distribution est une forme linéaire continue
2) la convergence dans S implique la convergence simple

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Merci bien.
Et mon énoncé du théorème de fubini est il correct ? (Vu que sur Wikipedia ils donnent une définition ultra générale sur des espaces mesurables que je sais pas trop ce que c'est).

[inviteea028771]

Oui, on a toujours*



Et si


alors




* : pour la mesure de Lebesgue sur et sous réserve que f soit mesurable,

[invite8f6d0dd4]

Parfait merci.

[invite8f6d0dd4]

Resalut.

J'ai bien compris la démo mais je voudrais juste une précision sur un point :

Pourquoi la limite de l'intégrale n'est pas celle ci dans le cas général ?



Car on est pas obligé de tendre vers l'infini "de la même manière" des deux cotés non ?

J'avoue que je n'ai pas regardé si à la fin on retombrait bien sur nos pates, mais à première vue déjà pour reconnaître le sin, ça ne marcherai plus (mais on pourrait peut être régler le pb).
Y a t'il un théorème qui dit qu'on a le droit de prendre les mêmes bornes en haut et en bas ce qui fait qu'elles tendent vers l'infini de la même manière ?

Merci !

[inviteea028771]

Si est intégrable au sens de le Lebesgue, alors



Or


et



Donc par le théorème de convergence dominée,

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Parfait merci !

En gros ça montre que si la fonction est intégrable, on peut faire tendre les deux cotés de la même manière.
Ainsi on ne peut pas démontrer que l'intégrale de sin sur |R, même si la fonction est impaire, est nulle car là on pourrait pas utiliser cette démo.

J'aurai une question qui n'a rien à voir :

Aurai tu un bouquin à ma conseiller sur de la topologie pour "débutants".

En gros j'ai remarqué qu'on a souvent besoin dans les constructions d'ensembles de notions de topologie (mais pas forcément très poussées en général), genre on utilise des arguments de densité, des continuités avec certaines normes etc.
Je chercherai donc un bouquin qui donne des bonnes bases avec des exos : mais qui présente les outils "utiles" pour comprendre le reste des outils de maths, pas besoin de truc super théorique et super spécifique, je cherche l'efficacité pour comprendre les théories des outils utilisés en physique.

Merci.