Schéma de Horner

[invite5420aad7]

Bonsoir,
J' ai entamé un exercice sur le schéma de horner mais je n' y arrive pas parce que je ne comprend pas très bien le principe, est-ce que je pourrais bénéficier d' explications s' il vous plait? merci.
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[invite2f4d9e53]

jette un coup d'oeil sur ce site, c'est pas trop mal expliqué :
http://structures.ac-martinique.fr/kabrit/horner.htm

[invite5420aad7]

Merci, j' ai lu ton lien et d' autre site ça m' a expliqué comment factoriser un polynôme, mais je ne comprend pas comment on fait pour déterminer le nombre d' addition et de multiplication.

[invite2f4d9e53]

il de suffit juste de les compter, tu vois qu'il y a autant d'additions et de multiplications que le degré de ton polynôme

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5420aad7]

non je pense pas, sinon on me poserais pas la question

[invite2f4d9e53]

je t'assure que si, essaie sur des exemples!
Quelle est exactement la question qu'on te pose?

[invite52c52005]

non je pense pas, sinon on me poserais pas la question

Bonsoir,

brixx a raison.
Si tu veux mieux t'en convaincre, tu peux essayer avec un raisonnement par récurrence.

Mais, avant, comme t'a demandé brixx, donne-nous la question exacte qu'on te pose.

[invite5420aad7]

ok, j 'ai un polynome (anX^n)+an-1X^(n-1).....+a1X+a0, j ' ai bien n additions mais j' ai n(n+1)/2 multiplications parce que dans An+X^n, il y a n+1 multiplications et ainsi de suite, jusqu à obtenir une suite arithmétique.

[invite5420aad7]

On me demandais le nombre d' addition et de multiplicaton pour calculer un polynôme de degré n.

[invitec314d025]

Merci, j' ai lu ton lien et d' autre site ça m' a expliqué comment factoriser un polynôme

La méthode de Horner ne permet pas de factoriser un polynôme.

j 'ai un polynome (anX^n)+an-1X^(n-1).....+a1X+a0, j ' ai bien n additions mais j' ai n(n+1)/2 multiplications parce que dans An+X^n, il y a n+1 multiplications

Pour calculer a_nXⁿ de manière basique, il y a n multiplications, donc tu obtiens bien n(n+1)/2 multiplications.
Mais ça c'est justement sans utiliser la méthode de Horner !

[invite5420aad7]

ben si la méthode de horner permet de factoriser un polynôme, puisqu' on me demandais dans un exercice de le faire ou bien j' ai mal compris.
P(z)=a_nzⁿ+a_n-1+z^n-1+.....+a₁z+a₀
=((a_nz^n-1+...+a₂z+a₁)z+a₀.
=((...((a_n)z+a_n-1)z+...a₂)z+a₁)z+ao

[invite5420aad7]

Oui peut-être que c' est moi qui est mal compris en fin d e compte en fait cette méthode nous aidait à calculer les coefficients d' un polynôme, par exemble un moment il dise z=2,Po=3X

[invitec314d025]

Ce n'est pas une factorisation puisque le polynôme n'est pas écrit sous forme d'un produit de facteurs (il y a un +a0).

[invite5420aad7]

Oui c' est moi qui est mal compris en fin de compte en fait cette méthode nous aidait à calculer les coefficients d' un polynôme, par exemble un moment il dise z=2,Po=3x⁵-7x⁴-6x³+15x²-10x+14 donner les valeurs des coeff b_i on note, sachant que b_n=a_n; b_n-1=a_n-1+zb_n, b_n-2=a_n-2+zb_n-1;b₀=a₀+zb₁, en fait il suffit de remplacer;
On considère P1 quotien de la division euclidienne de Po par X-2, P2 quotient de le division euclidienne de P1 par (X-2). Je retrouve pour P1 jusqu' à P5 les mêmes coefficients (b_i). Coment cela s' explique-t-il??

[invite5420aad7]

Je m' explique:
b5=3
b4=-1
b3=-8
b2=-1
b1=-12
b0=-10
Ensuite j' ai:
P1=3x⁴-x³-8x²-x-12
P2=3x³-x²-8x-1
P3=3x²-x-8
P4=3x-1
P5=3

[invite71124d1f]

Bizarre (cette fois je l'ai bien dit), dans mes programmes, j'ai toulours trouvé que bien qu' équivalente, exprimer un polynôme suivant Horner était plus digeste en sens contraire (croissant), soit:

P(x)= A0+X(A1+X(A2+X(.....X(An-2+X(An-+X.An)).....)))

D'autre part, le but étant de l'utiliser dans les programmes, la principale vertu avancée était une plus grande précision que celle dues aux algorithmes d'exponenciation des ordinateurs. C'est peut être dû en partie au nombre réduit d'opérations, en plus du temps de calcul gagné.

[invite5420aad7]

Bizarre (cette fois je l'ai bien dit), dans mes programmes, j'ai toulours trouvé que bien qu' équivalente, exprimer un polynôme suivant Horner était plus digeste en sens contraire (croissant), soit:

P(x)= A0+X(A1+X(A2+X(.....X(An-2+X(An-+X.An)).....)))

D'autre part, le but étant de l'utiliser dans les programmes, la principale vertu avancée était une plus grande précision que celle dues aux algorithmes d'exponenciation des ordinateurs. C'est peut être dû en partie au nombre réduit d'opérations, en plus du temps de calcul gagné.

Oui c' est tout à fais ça cela réduit le nombre d' opérations c' est ce que j' ai lu, mais j' ai pas forcément compris quelle opération parce que à quoi sert Po, P1, P2....

[invite5420aad7]

Parce qu' après il nous disent d' applqiquer le schéma de horne à P1,P2,P3,P4,P5, en déduire l' existence de 6 réelles C₀,........,C₅telle que:
P₀= S(k=0...5),c_k(x-2)^k, la première j' ai répartie dans un tableau les coefficients mais après je sais plus faire.