Théorème de Stone - Weierstrass

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre l'exercice suivant en raisonnant par l'absurde :

Montrer qu'une fonction admettant une limite finie en n'est pas limite uniforme de polynomes de .

Merci d'avance.
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[inviteb3412e7c]

On prend une suite de polynômes qui converge uniformément vers , on prend tel que et on remarque que ne peut pas diverger vers l'infini en et donc que est constant et par suite que est une suite de polynômes constants à partir d'un certain rang, et donc que est constante.

La propriété à démontrer est donc :
Soit une fonction continue de dans non constante telle qu'elle admet une limite finie en alors elle ne peut pas être limite uniforme d'une suite de polynômes de .

[leon1789]

arttle a prouvé qu'une fonction qui est limite uniforme d'une suite de polynômes et qui possède une limite finie en est constante.

La contraposée est donc << une fonction non constante admettant une limite finie en n'est pas limite uniforme de suite de polynômes. (la non constance est nécessaire, la continuité inutile)

[invitecbade190]

Merci pour cette rectification que tu m'as pré-établie.
Alors, en toute brièveté, on demande de démontrer que si , une fonction continue non constante, est limite uniforme d'une suite de polynômes de , alors : forcément, , non ?
En effet, et par hypothèse :

Cela implique que :


Pour : :

Pour : choisit fixé, on fait tendre vers , on obtient : . C'est ainsi que s'achève la démo il me semble, non ?
Merci d'avance.

Edit : Merci leon, je suis entrain de vérifier ta réponse de tout à l'heure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

oui, à condition que le polynôme tende vers (et pas ) !

et tu vois que la continuité de f n'est pas utilisée.

En fait, dans ta preuve, on n'utilise pas non plus vraiment que f est limite uniforme d'une suite de polynômes : on utilise un seul polynôme P suffisamment proche de f et on dit que f(x) > P(x) - 1 pour tout x ...

[leon1789]

...attention à ne pas oublier le cas où le polynôme serait constant...

[invitecbade190]

leon, la continuité de sert à appliquer Stone - Weierstrass qui dit que si est continue, alors : avec : une suite de polynômes.

[leon1789]

Le théorème de Stone - Weierstrass parle de fonction f : I -> R où I est un intervalle borné ...

Ce que tu dis est faux avec les fonctions de R -> R !
Dans tes hypothèse, on est loin de Stone - Weierstrass

[invitecbade190]

Je trouve ça ici : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00042.pdf

[leon1789]

on demande de démontrer que si , une fonction continue non constante, est limite uniforme d'une suite de polynômes de , alors : forcément, , non ?

Pour faire une bonne preuve, je pense qu'il faut y aller en plusieurs temps :

- la convergence uniforme et la non constance de f implique la non constance de tous les polynômes pour ;

- ces polynômes (non constants) tendent tous vers la même limite ( ou ), et enfin f admet la même limite ( ou ).

[leon1789]

Je trouve ça ici : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00042.pdf

l'exo 2 est mal placé (cela n'a rien avec voir Stone - Weierstrass) et mal rédigé (voir les messages #2 et #3 ci-dessus).

[inviteb3412e7c]

Ah oui, la continuité de n'est pas utilisé, j'avais pas vu ça.
Et le théorème reste valable si la suite de polynômes est contenu dans une boule centrée sur à partir d'un certain rang.

Finalement la propriété devient :

Soit une fonction de dans non constante qui admet une limite finie en , alors il n'existe pas de suite de polynômes tel que .

[leon1789]

Soit une fonction de dans non constante qui admet une limite finie en , alors il n'existe pas de suite de polynômes tel que .

heu, je peux prendre .

Mais tu voulais surement écrire :

Soit une fonction de dans non constante qui admet une limite finie en , alors il n'existe pas de suite de polynômes convergente simplement vers et telle que .

[inviteb3412e7c]

Oups...

Je voulais enlever la continuité uniforme pour rendre la propriété plus forte, mais je me suis ramassé en beauté lol