Bonjour à tous,
J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre l'exercice suivant en raisonnant par l'absurde :
Montrer qu'une fonctionadmettant une limite finie en
n'est pas limite uniforme de polynomes de
.
Merci d'avance.
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Bonjour à tous,
J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre l'exercice suivant en raisonnant par l'absurde :
Montrer qu'une fonctionadmettant une limite finie en
n'est pas limite uniforme de polynomes de
.
Merci d'avance.
On prend une suite de polynômesqui converge uniformément vers
, on prend
tel que
et on remarque que
ne peut pas diverger vers l'infini en
et donc que
est constant et par suite que
est une suite de polynômes constants à partir d'un certain rang, et donc que
est constante.
La propriété à démontrer est donc :
Soitune fonction continue de
dans
non constante telle qu'elle admet une limite finie en
alors elle ne peut pas être limite uniforme d'une suite de polynômes de
.
arttle a prouvé qu'une fonction qui est limite uniforme d'une suite de polynômes et qui possède une limite finie enest constante.
La contraposée est donc << une fonctionnon constante admettant une limite finie en
n'est pas limite uniforme de suite de polynômes. (la non constance est nécessaire, la continuité inutile)
Merci pour cette rectification que tu m'as pré-établie.
Alors, en toute brièveté, on demande de démontrer que si, une fonction continue non constante, est limite uniforme d'une suite de polynômes de
, alors : forcément,
, non ?
En effet, et par hypothèse :
Cela implique que :
Pour ::
Pour :choisit fixé, on fait tendre vers
, on obtient :
. C'est ainsi que s'achève la démo il me semble, non ?
Merci d'avance.
Edit : Merci leon, je suis entrain de vérifier ta réponse de tout à l'heure.
oui, à condition que le polynômetende vers
(et pas
) !
et tu vois que la continuité de f n'est pas utilisée.
En fait, dans ta preuve, on n'utilise pas non plus vraiment que f est limite uniforme d'une suite de polynômes : on utilise un seul polynôme P suffisamment proche de f et on dit que f(x) > P(x) - 1 pour tout x ...
Dernière modification par leon1789 ; 17/08/2015 à 20h31.
...attention à ne pas oublier le cas où le polynômeserait constant...
leon, la continuité desert à appliquer Stone - Weierstrass qui dit que si
est continue, alors :
avec :
une suite de polynômes.
Le théorème de Stone - Weierstrass parle de fonction f : I -> R où I est un intervalle borné ...
Ce que tu dis est faux avec les fonctions de R -> R !
Dans tes hypothèse, on est loin de Stone - Weierstrass![]()
Dernière modification par leon1789 ; 17/08/2015 à 20h45.
Je trouve ça ici : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00042.pdf
Pour faire une bonne preuve, je pense qu'il faut y aller en plusieurs temps :
- la convergence uniforme et la non constance de f implique la non constance de tous les polynômespour
;
- ces polynômes(non constants) tendent tous vers la même limite (
ou
), et enfin f admet la même limite (
ou
).
Je trouve ça ici : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00042.pdfl'exo 2 est mal placé (cela n'a rien avec voir Stone - Weierstrass) et mal rédigé (voir les messages #2 et #3 ci-dessus).
Ah oui, la continuité den'est pas utilisé, j'avais pas vu ça.
Et le théorème reste valable si la suite de polynômes est contenu dans une boule centrée surà partir d'un certain rang.
Finalement la propriété devient :
Soitune fonction de
dans
non constante qui admet une limite finie en
, alors il n'existe pas de suite de polynômes
tel que
.
heu, je peux prendre.
Mais tu voulais surement écrire :
Soitune fonction de
dans
non constante qui admet une limite finie en
, alors il n'existe pas de suite de polynômes
convergente simplement vers
et telle que
.
Oups...
Je voulais enlever la continuité uniforme pour rendre la propriété plus forte, mais je me suis ramassé en beauté lol