Triangle coloré

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Un exo que j'avais eu il y a pas mal d'années, et que je me suis re-posé récemment. Il y avait une jolie solution, mais pas moyen de la retrouver, ni de mettre la main sur ce $@#& poly...

Soit un triangle comme sur la figure ci-jointe. On colorie les sommets en rouge, vert, bleu, disons, avec la règle suivante:
- chacun des trois sommets "extrêmes" est d'une couleur différente;
- il est interdit de colorier en rouge un sommet du côté opposé au sommet rouge (c-à-d un sommet du sgement vert-bleu, base du triangle sur la figure);
- évidemment, pareil pour les deux autres couleurs;
- ailleurs, on fait ce qu'on veut.

Montrer qu'il existe un "petit" triangle (quelque part) dont les trois sommets sont de couleurs différentes.

Oui, la récurrence est facile à amorcer . Et ensuite?

Merci pour toute piste (si je retrouve d'ici là, je donne la soluce, promis).

-- françois
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[matthias]

homotopie nous a proposé la même dans la section humour scientifique
http://forums.futura-sciences.com/post478517.html

[invite6de5f0ac]

homotopie nous a proposé la même dans la section humour scientifique
http://forums.futura-sciences.com/post478517.html

Oups. J'avais pas vu...

Et, autant que je me souvienne, la démo que tu proposes est bien celle que je cherchais.

Mais pourquoi coller un truc pareil en rubrique "Humour"? Ou alors, homotopie a un sens de l'humour très spécial...

Merci encore.

-- françois

[matthias]

Mais pourquoi coller un truc pareil en rubrique "Humour"?

Parce que c'est là que sont la plupart des énigmes mathématiques. Ce qui se discute quand elles deviennent un peu plus compliquées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

On peut peut-être ajouter des éléments en sections mathématiques tels que :
comment à partir de ce résultat sur le "triangle coloré" montrer le théorème en dimension 2 du théorème de Brouwer.
Ce théorème dit que toute application continue du disque (qui peut être remplacé par un triangle plein) sur lui-même admet au moins un point fixe.
L'extension aux autres dimensions se fait assez facilement si on comprend celle en dimension 2)

[invite35452583]

PS : cette démo n'est pas totalement "naturelle" (mais ça c'est subjectif).
Un indice, les coordonnées barycentriques est l'outil le mieux adapté.
J'aime bien cette démo car c'est la seule, à ma connaissance qui ne sort pas d'"artillerie lourde".
Réponse lundi

[invite6de5f0ac]

On peut peut-être ajouter des éléments en sections mathématiques tels que :
comment à partir de ce résultat sur le "triangle coloré" montrer le théorème en dimension 2 du théorème de Brouwer.

Bonjour,

C'est à peu près ce que je voulais dire. En fait, pas du tout, mais dans l'esprit, si.

C'est vrai que ce problème n'est qu'une énigme mathématique, à la limite de la curiosité. Mais les techniques pour le résoudre sont, elles, vraiment mathématiques; je veux dire que ce n'est pas du "simple" raisonnement logique. C'est pour ça que je ne vois pas trop pourquoi le caser en rubrique "Humour", où il y a un peu de tout (et de n'importe quoi, parfois ).

Quant à utiliser ce raisonnement pour démontrer une version "simplifiée" du théorème de Brouwer, c'est bien une idée de topologiste... J'avoue que je n'y aurais jamais pensé. Mais je suis plutôt algébriste (souvent parce que je suis fâché avec la Topologie, plus précisément avec l'Analyse).

Et justement, si ce genre de thread aboutit à envisager des approches originales d'un problème dont la solution "naturelle" paraît si "évidente" (et ne l'est évidemment pas, ni naturelle ni évidente)... alors c'est bien ici qu'il a sa place!

-- françois

P.S.1 -Je m'aperçois que je commence mes messages par "Bonjour" quand c'est ma première intervention sur un thread, et que je suis bien luné... Une fois lancé, j'ai tendance à oublier. Désolé

P.S.2 - Je m'aperçois aussi que j'aime trop les smileys, j'en colle partout, et pas toujours à bon escient... mais là, c'est aussi idiot que quand je couvrais mon vélo d'autocollants étant gamin. Pas désolé.

[invite35452583]

Bonjour,
Hier, j'étais en état grippal d'où un retard, voici la démo :
Soit f une application continue d'un triangle plein dans lui-même. (Pour simplifier on peut prendre un triangle équilatéral de côté 1).
les coordonnées barycentriques de x dans le repère barycentrique
les coordonnées barycentriques de f(x)
On considère les trois fermés
On a :
est un recouvrement du triangle
est un recouvrement du côté
l'intersection de ces trois fermés est l'ensemble des points fixes de f.
Ces trois assertions se montrent sans grande difficulté.

Reste à montrer que l'intersection de ces trois fermés est non vide.
Pour cela, à chaque point du triangle on associe un numéro k(x)=k (0, 1 ou 2) tel que x soit dans avec la condition supplémentaire que pour les points d'un côté , k=i ou j. Les assertions 1 et 2 garantissent que c'est possible.
Pour un entier n>0, on peut diviser le triangle en petits carrés de côté 1/n. Il existe un petit triangle .
La distance entre ces sommets tend vers 0 ainsi une suite de tels sommets converge équivaut à ce que les trois suites convergent. On prend une sous-suite de triangles convergente . La limite de ce triangle est un unique point x appartenant aux trois fermés comme limite de suite de points de ces fermés. L'intersection de ces trois fermés est donc non vide.
CQFD
Joli de simplicité, non ?

Deux mots sur l'extension en dimension m quelconque. Le même type de raisonnement fonctionne mais on ne peut pas reprendre le même principe de découpage (en dimension 3, ce découpage n'est pas un découpage en tétraèdre par exemple).
On fait des découpages ainsi, en dimension 3 :
un "petit" tétraèdres au 1er découpage est formé ainsi :
du milieu du grand tétraèdre ABCD
du milieu d'une face ABC
du milieu d'un côté AB
du "milieu" d'un sommet A
Le n-ème découpage est le découpage en "petit" tétraèdres des (n-1) "petits" tétraèdres". Il y a ainsi n-"petits" tétraèdres
Ca se généralise facilement à des dimensions m quelconques.

Cordialement

[invite35452583]

Quant à utiliser ce raisonnement pour démontrer une version "simplifiée" du théorème de Brouwer, c'est bien une idée de topologiste...

Sauf que c'est plutôt l'inverse. Ce "triangle coloré" est à sa naissance non pas un jeu mais un outil mathématique inventé-créé au début du 20ème siècle. Il permet de montrer quelques théorèmes topoliques fins comme ce th. de point fixe de Brouwer mais également de donner une des premières définitions de dimension topologique. Elle la définit en termes d'intersection non vide de fermés. Plus précisément, dim(K)=n si de tout recouvrement fermé de diamètre inférieur à une borne dépendant de K on peut trouver n+1 de ces fermés dont l'intersection est non vide.
Il s'est avéré que cette voie malgré des débuts prometteurs s'est retrouvée vite limitée (la topologie algébrique se révélera plus efficace mais réclame plus de résultats techniques avant d'être appliqué)

Cordialement