Bonjour,

Hier, j'étais dans le rer et je me suis demandé quel était l'exemple canonique de fonction continue, pas dérivable. Outre la fonction valeur absolue, il y a aussi des trucs plus fun (je vais encore passer pour un sadique ) comme f(x) = x sin(1/x)
En 0, cette fonction est continue, et pourtant, sa dérivée g(x) = sin(1/x) - 1/x * cos(1/x) explose au voisinage de zéro.
Cependant, f étant continue, elle admet une dérivée au sens des distributions ! J'ai fait un petit calcul, mais je ne suis pas du tout sûr de mon résultat : J'aimerais une vérification, please ?
Je prend u une fonction régulière à support compact.

Ensuite, je fais des intégrations par parties sur chaque intégrale et je trouve que les termes de bords tendent vers 0, car f est continue et nulle en 0. Du coup, il reste que

Maintenant, j'écris que v(x ) = u(x)-[u(0) +x u'(0)] * w(x) est sommable contre g au voisinage de 0, avec w une fonction plateau nulle en l'infini. J'en déduis que


Tant qu' à faire, autant choisir w l'indicatrice de [-1,1].
J'ai alors que (intégrale au sens limite des deux intégrales en -e et +e

et


Est ce que vous êtes d'accord avec mon raisonnement ? Vous pensez qu'on peut donner une meilleure forme à cette dérivée ?


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rvz, ou l'art de faire des choses compliquées sur des trucs simples