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somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???




  1. #1
    looser555

    somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Bonjour/bonsoir,

    je viens de voir sur youtube (https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww ) qu'on peut démontrer que la somme infinie 1+2+3+4+5+... vaut -1/12 !!!

    Est-ce que vous pensez que ce sont des mathématiques sérieuses ? Le meilleur, c'est que ce résultat est utilisé en Théorie des cordes!

    Pour arriver à ce résultat, on part de la somme infinie 1-1+1-1+1-1+1-1+... : quand on regarde les sommes partielles de cette série, on trouve comme valeurs 1 ou 0 , selon qu'on s'arrête après un nombre impair ou pair de valeurs, alors on dit que la valeur de la limite pour la somme infinie est 1/2, la moyenne des deux valeurs 1 et 0 : ça me paraît complètement ridicule, cette série diverge, elle n'a pas de limite, plutôt que de dire qu'elle vaut 1/2 : qu'en pensez-vous ?

    -----


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  3. #2
    Médiat

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Bonjour,

    Déjà discuté plusieurs fois, par exemple : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post5116810
    http://forums.futura-sciences.com/sc...ossible-3.html

    Je précise : Oui ce sont des mathématiques sérieuses, il n'y a aucune raison de ne pas les utiliser en physique, l'arnaque, c'est de l'appeler (et de le noter comme une) somme.
    Dernière modification par Médiat ; 28/08/2015 à 04h28.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Ah! OK, désolé, mais j'ai cherché "-1/12" avant de poster et je n'ai eu aucun résultat...

    Il reste que je trouve le fait de dire que 1-1+1-1+1-1+... vaut 1/2 parce qu'on prend la moyenne des deux valeurs 1 et 0 , me paraît vraiment ridicule au niveau mathématique! Cette série diverge, elle n'a pas de limite.


  5. #4
    Médiat

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Comme je l'ai écrit : c'est une arnaque au niveau vocabulaire, ce qui entraîne votre remarque : ce n'est pas la limite d'une série.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    pm42

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Ce n'est pas plus ridicule que de définir un nombre qui est la racine carrée de -1 alors que chacun sait qu'elle n'existe pas.
    Ou de faire la théorie des catégories qui permet de manipuler d'une certaine façon "tous les ensembles" alors qu'on sait que l'ensemble des ensembles n'existe pas.

    L'histoire des maths, c'est de définir de nouveaux concepts et tant qu'ils sont cohérents dans leur contexte, tout va bien. Mais chacun de ces concepts choquent certains au départ...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    Ce n'est pas plus ridicule que de définir un nombre qui est la racine carrée de -1 alors que chacun sait qu'elle n'existe pas.
    Non, c'est extrêmement différent, d'ailleurs que veut dire "elle n'existe pas" dans votre phrase ?

    Evidemment que l'on peut définir de nouveaux concepts (et pas seulement en mathématiques), ce qui est ridicule, pour ne pas dire pire, c'est de laisser entendre qu'un nouveau concept ... n'est pas nouveau.

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    Ou de faire la théorie des catégories qui permet de manipuler d'une certaine façon "tous les ensembles" alors qu'on sait que l'ensemble des ensembles n'existe pas.
    Je laisse les spécialistes des Catégories vous répondre
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #7
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    @ pm42 : la racine de -1 n'existe pas... dans l'ensemble des réels, c'est pour ça que ça a donné naissance au concept de nombres complexes, là il n'y a rien de choquant.

    Mais dire que 1+2+3+4+5+... vaut -1/12 : qui peut admettre ça sérieusement ? Ou alors, qu'est-ce que ça veut dire ???
    Est-ce que c'est un truc un peu étonnant comme les dimensions 2/3 ( par exemple ) des fractales ?

    Il est évident pour moi que si ce truc est vrai ( 1+2+3+... = -1/12 ), alors il faut le comprendre d'une manière qui n'est pas la manière usuelle, il faut donner un sens nouveau à ce = -/12 ; sinon, si on est prêt à admettre sans broncher cette égalité comme étant à prendre "au premier degré", je crois qu'il faut abandonner les maths...

    Qui saura expliquer le sens profond de ce truc bizarroïde ? Merci d'avance... ( je vais d'abord jeter un coup d'oeil sur le forum )

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  11. #8
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    oui, comme indiqué dans une réponse, il est vraiment utile d'aller jeter un coup d'oeil à :https://sciencetonnante.wordpress.co...s-divergentes/

    Là où j'en reste coi ( à première vue ), c'est qu'on a :

    A = 1-1+1-1+1-1+...
    A = 1-(1-1+1-1+1-1+...) soit A = 1- A, soit A = 1/2 !!! Mais c'est vrai qu'on manipule des infinis, et là je crois qu'il faut se tourner du côté de Cantor... Si A est le cardinal de N ( entiers naturels ) par exemple, alors A + 1 = A, A + 2 = A, etc... ce qui ne permet pas d'affirmer que 1=0, 2 = 0 etc... en retranchant A à chaque fois de chaque côté de l'égalité. Conclusion : ( à mon avis ) ce 1+2+3+4+5+... = -1/12 c'est de la pure foutaise, heureusement que Cantor était là.

  12. #9
    pm42

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Non, c'est extrêmement différent, d'ailleurs que veut dire "elle n'existe pas" dans votre phrase ?
    Vu le contexte et sauf à supposer que je ne sais pas ce qu'est un nombre complexe alors que je cite la théorie des catégories, cela me semble évident : on enseigne qu'elle n'existe pas pendant un certain temps, c'était aussi l'état de l'art pendant des siècles jusqu'au jour où on introduit une nouvelle construction qui permet de la créer.

    Vu qu'on est dans le contexte de quelqu'un qui a du mal avec un concept nouveau, je prenais cela comme exemple. Je vois assez peu d'intérêt à vouloir faire de la rigueur bourbakienne dans ces situations mais il est vrai que c'est la norme en France.

  13. #10
    PlaneteF

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Bonjour,

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    Conclusion : ( à mon avis ) ce 1+2+3+4+5+... = -1/12 c'est de la pure foutaise,
    Mais il n'y a pas la moindre foutaise (sic) là-dedans, comme déjà mentionné il s'agit d'un abus ou d'une simplification d'écriture pour dire que :

    C'est la sommation de Ramanujan appliquée à cette série qui vaut , ... personne de sérieux n'a jamais dit que c'était la somme au sens usuel !

    Voici un lien que l'on peut étudier et qui explique tout cela (et puis c'est tout )

    https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation


    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    ... heureusement que Cantor était là.
    Aucun rapport avec Cantor --> Cf. le lien précédent.


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/08/2015 à 08h56.

  14. #11
    Médiat

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    Il est évident pour moi que si ce truc est vrai
    Vocabulaire très dangereux en mathématiques, la preuve ici-même.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    @ PlaneteF : moi je prends la démonstration qui part de 1-1+1-1+1-1+... = 1/2 ; là où je trouve que ça a un rapport avec Cantor, c'est qu'on peut trouver ce 1/2 en disant que A = 1 - A ( voir mon message précédent ), d'où on déduit A = 1/2 ; or on n'a pas le droit de faire cette déduction, car on manipule des infinis, et ce n'est pas si simple ( merci Cantor, donc ). Ceux qui ne veulent pas admettre ça ont un problème, je suis désolé pour eux.

    1-1+1-1+1-1+... ne vaut ni 1/2 ni autre chose, il n'y a pas de limite point barre.

    Ramanujan était sans doute un génie, en particulier concernant le nombre pi, mais je pense qu'il doit y avoir le même problème de manipulation de l'infini dans sa formule, d'où l'erreur ( à savoir, 1+2+3+4+5+... = -1/12 EST une erreur ). Sinon, voir mon message précédent encore une fois, on a le droit de dire que 1 = 0, 2 = 0 etc...

  16. #13
    PlaneteF

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    @ PlaneteF : moi je prends la démonstration qui part de 1-1+1-1+1-1+... = 1/2 ; là où je trouve que ça a un rapport avec Cantor, c'est qu'on peut trouver ce 1/2 en disant que A = 1 - A ( voir mon message précédent ), d'où on déduit A = 1/2 ; or on n'a pas le droit de faire cette déduction, car on manipule des infinis, et ce n'est pas si simple ( merci Cantor, donc ). Ceux qui ne veulent pas admettre ça ont un problème, je suis désolé pour eux.

    1-1+1-1+1-1+... ne vaut ni 1/2 ni autre chose, il n'y a pas de limite point barre.

    Ramanujan était sans doute un génie, en particulier concernant le nombre pi, mais je pense qu'il doit y avoir le même problème de manipulation de l'infini dans sa formule, d'où l'erreur ( à savoir, 1+2+3+4+5+... = -1/12 EST une erreur ). Sinon, voir mon message précédent encore une fois, on a le droit de dire que 1 = 0, 2 = 0 etc...
    Soupirs ... très, très longs soupirs.

    Cf. message#10 (entre autres), ... pas envie de répéter 15000 fois ce qui a déjà été vu 15000 fois sur ce forum

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/08/2015 à 09h52.

  17. #14
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    donc vous admettez sans broncher, cela ne vous pose aucun problème, que 1+2+3+4+5+... = -1/12 ???

    Et si ce n'est pas la somme au sens usuel, alors qu'est-ce que ça veut dire ?
    Dernière modification par looser555 ; 28/08/2015 à 10h49.

  18. #15
    PlaneteF

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    donc vous admettez sans broncher, cela ne vous pose aucun problème, que 1+2+3+4+5+... = -1/12 ???
    Oui je déclare sans broncher que "la sommation de Ramanujan appliquée à la série étant égale à " ne me pose aucun problème.

    Si tu décèles des erreurs dans le lien Wikipédia que j'ai donné, et bien "go ahead" c'est une encyclopédie collaborative, fais les modifications que tu estimes nécessaires, tu n'as même pas besoin de compte Wikipédia, tu peux faire tes corrections directos en tant qu'invité (si le fonctionnement de Wikipédia n'a pas changé).

    Une fois que tu auras corrigé cette page, fais nous signe et on en reparle ensuite.


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/08/2015 à 10h59.

  19. #16
    pm42

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    donc vous admettez sans broncher, cela ne vous pose aucun problème, que 1+2+3+4+5+... = -1/12 ???
    Il a expliqué pourquoi : "abus ou d'une simplification d'écriture" ce qui est assez fréquent en maths.

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    Et si ce n'est pas la somme au sens usuel, alors qu'est-ce que ça veut dire ?
    Là aussi, il a expliqué ce que c'était et même donné le lien.

    EDIT: message croisé avec PlaneteF

  20. #17
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    je n'ai pas la prétention d'aller rectifier la page wikipédia, je ne pourrais le faire qu'après avoir bien discuté du problème...

    Mais dans la mesure où le résultat donné par Ramanujan est le même que celui qu'on trouve avec la méthode utilisée dans la vidéo dont j'ai donné le lien dans mon premier message, et que ce résultat est FAUX ( erreur de manipulation des infinis, cf Cantor ), je ne vois pas pourquoi celui de Ramanujan serait juste...

    Dans la vidéo dont je viens de parler, il est clair que l'égalité 1+2+3+4+5+... = -1/12 est à prendre au sens usuel, c'est-à-dire que si on additionne 1,2,3,4,5, etc... on doit s'approcher à volonté de -1/12 : ce qui est absurde. Or, dans la formule de Ramanujan, il y a aussi une somme infinie, je pense donc qu'il y a une erreur qui vient de là.

    Dans la vidéo, on dit que A = 1 - A et on en déduit A = 1/2 : c'est FAUX ! C'est une erreur sur la manipulation des infinis ; sinon, de la même manière, je prends A comme cardinal des entiers naturels ( comme je l'avais déjà dit ) et j'écris, suivant Cantor : A +1 = A , A + 2 = A, etc...
    et j'en déduis en supprimant A de chaque côté de l'égalité : 1 = 0, 2 = 0 etc... Encore une fois, il faut faire très attention à ce qu'on fait quand on manipule des infinis ( on peut lire le livre de Cantor lui-même dispo sur un grand site de vente de livres entre autres, dont le nom commence par AMA ).

    Maintenant, vu que l'égalité 1+2+3+4+5+... = -1/12 est utilisée en théorie des cordes, je me demande vraiment ce que vaut cette théorie, et je serais bien curieux qu'un spécialiste de la question nous dise dans quel sens il utilise cette égalité, puisque paraît-il elle n'est pas à prendre au sens usuel...

    Bref, moi j'arrête la discussion ici, il est clair que 1+2+3+4+5+... ne tend pas vers -1/12 ( erreur de manipulation des infinis ), et ceux qui veulent utiliser ce résultat en lui donnant je ne sais quelle signification, ne s'étonneront pas si la nature les rappelle à l'ordre à un moment ou à un autre... ( Ah! bon ? ça ne marche pas ? Comment ça se fait ? )

  21. #18
    Tryss

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    Bref, moi j'arrête la discussion ici, il est clair que 1+2+3+4+5+... ne tend pas vers -1/12 ( erreur de manipulation des infinis ), et ceux qui veulent utiliser ce résultat en lui donnant je ne sais quelle signification, ne s'étonneront pas si la nature les rappelle à l'ordre à un moment ou à un autre... ( Ah! bon ? ça ne marche pas ? Comment ça se fait ? )
    Personne ne conteste que cette série diverge au sens usuel... mais en quoi cela est il choquant que la sommation de Ramanujan donne un résultat fini? C'est le mot sommation qui te hérisse?

    J'imagine ta confusion si on avait appelé "Limite de Cesàro" l'opération qui consiste à prendre la limite de la moyenne de Cesàro d'une suite. Tu aurai dit "mais la suite des (-1)^n n'a pas de limite ! Comment se fait il qu'elle ai une limite (de Cesàro)? La réalité va vous rappeler à l'ordre !". On est ici exactement dans le même cas de figure

  22. #19
    pm42

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    et que ce résultat est FAUX ( erreur de manipulation des infinis, cf Cantor ), je ne vois pas pourquoi celui de Ramanujan serait juste...
    Il est effectivement arrivé que Ramanujan se trompe. Mais vu que tu t'obstines à confondre la méthode utilisée ici avec celles que tu connais, il y a peu de chance que ce soit toi qui détecte une erreur.

    Pour reprendre mon exemple mal compris plus haut, tu expliques à des gens que leur résultat est faux parce qu'ils ont un carré négatif sauf que tu ne connais pas les complexes et que quand ils te l'expliquent, tu refuse de sortir de R.

  23. #20
    0577

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???


  24. #21
    leon1789

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Abus de notation, ok, on en fait quand il n'y a pas de souci d'interprétation !
    Alors pourquoi se permet-on un abus aussi dangereux avec lequel on peut démontrer 1=0 ? C'est juste pour faire le buz ??
    1 + 2 + 3 + ... = -1/12

    On ajoute 0 :
    0 + 1 + 2 + ... = 0 + (-1/12) = -1/12

    Par soustraction terme à terme :
    1 + 1 + 1 + ... = (-1/12) – (-1/12) = 0.

    On ajoute 0 :
    0 + 1 + 1 + 1 + ... = 0,

    Par soustraction terme à terme :
    1 + 0 + 0 + ... = 0 - 0 = 0
    Dernière modification par leon1789 ; 28/08/2015 à 17h25.

  25. #22
    Médiat

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    C'est juste pour faire le buz ??
    Oui, d'ailleurs l'article de wikipedia note bien cela avec un symbole spécial afin d'éviter cet écueil.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #23
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Les amis, je me rends compte d'un truc, qui apparemment vous a échappé, ça m'étonne...

    Je me suis en partie planté Eh! oui, car quand je dis que A = 1 - A ( avec A = 1-1+1-1+1-1+... ) n'entraîne pas A = 1/2, en invoquant le grand Cantor, il se trouve que A vaut soit 0 soit 1 donc n'est pas un nombre infini et là je ne devrais donc pas pouvoir utiliser la théorie de Cantor sur les nombres transfinis ( je vous recommande quand même de lire son livre, c'est excellent ).

    MAIS, il y a un nombre infini de termes à cette somme, et on ne peut pas faire ce qu'on veut avec l'infini, la preuve :

    Soit S = 1+1+1+1+... alors on a : S = 1 + (1+1+1+1+...) = 1 + S d'où, en simplifiant par S de chaque côté, 0 = 1 ! Oui, mais le problème, donc, c'est qu'il y a une infinité de termes et qu'on ne peut pas simplifier aussi facilement.

    Autre exemple : A = 1+2+3+4+5+... , alors A = ( 1+3+5+7+... ) + ( 2+4+6+8+... ) = B + 2A, d'où (paraît-il ) : 0 = B + A ; si B = A , alors on a 0 = 2A soit 0 = A , et si B #(différent) A, alors A = -B avec B qui tend clairement vers +& ( + l'infini ), donc A tend vers -&. Les 2 résultats sont absurdes. Comme quoi il faut se méfier de l'infini, on ne fait pas ce qu'on veut avec cette petite bête.

    Encore une fois, dans la vidéo dont je donne le lien dans mon premier message, on obtient 1+2+3+4+5+... = -1/12 par des opérations simples sur les séries, il n'est absolument pas question de Ramanujan, donc on ne peut pas me dire que ce n'est pas à prendre au sens usuel...

    Si quelqu'un est sûr que le résultat ( du grand n'importe quoi ) 1+2+3+4+5+... = -1/12 n'est pas utilisé au sens usuel dans la théorie des cordes, alors qu'il veuille bien nous donner la signification de cette égalité en Physique, merci d'avance !

  27. #24
    Tryss

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    1) La vidéo que tu as posté en lien raconte effectivement des âneries et fait n'importe quoi...
    2) Ça ne veut pas dire que cette égalité est absurde et "du grand n'importe quoi" : on peut lui donner un sens très rigoureux
    3) Pour ce qui est de l'utilisation de cette égalité en théorie des cordes, il faudrait demander à un cordiste. Mais c'est très probablement lié à une régularisation/renormalisation, opération courante en physique moderne, qui consiste à faire converger des intégrales divergentes... je sens que tu ne va pas aimer, pourtant ça marche : c'est apparu avec la théorie quantique des champs, théorie qui est tout sauf spéculative (et on a besoin de faire ce genre de manips)

  28. #25
    Médiat

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Bonjour,

    looser555, Il y a une chose qui semble vous échapper et qui, pourtant a été écrite plusieurs fois, mais vous l'ignorez, sans doute volontairement : votre titre est une arnaque ! Soit ce n'est pas la somme (au sens prolongement naturel de la somme des entiers (ou même des réels)), soit ce n'est pas l'égalité (au sens prolongement naturel de l'égalité sur les rationnels (ou même des réels)).
    Cela n'empêche pas d'avoir une opération (notée ci-après) parfaitement légitime sur les suites telle que
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #26
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Si les gens ( mathématiciens ? ) de la vidéo dont je parle font vraiment n'importe quoi, c'est quand même un peu fort qu'ils tombent sur le "bon" résultat, nan ?

    Bon allez, continuons un peu le délire, j'affirme que 1+1+1+1+1+... vaut -45 , mais attention "vaut" n'est pas à prendre au sens usuel

  30. #27
    Médiat

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Citation Envoyé par looser555 Voir le message
    j'affirme que 1+1+1+1+1+... vaut -45 , mais attention "vaut" n'est pas à prendre au sens usuel
    Vous avez une justification, une méthode générale de calcul, est-ce que cela est utile ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  31. #28
    looser555

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Qu'on m'explique pourquoi, dans la vidéo, on arrive au "bon" résultat avec des manipulations simples de séries, tout étant à prendre au sens usuel.
    Dès le départ c'est faux, car on prend A = 1 - A et on en déduit A = 1/2 alors qu'on parle d'une suite infinie de nombres. Or, on tombe bien, avec ça, sur le "bon" résultat, donc je crois que c'est assez clair : le "bon" résultat c'est n'importe quoi !
    Vous n'allez quand même pas me dire que c'est un pur hasard si ils arrivent au "bon" résultat quand même ??? Et pendant qu'on y est, j'aimerais bien qu'on m'explique en quoi leur méthode est mauvaise, sans parler du A = 1/2 qui est faux.

  32. #29
    leon1789

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    Déjà, il faudrait revenir à la définition mathématique de l'objet désigné par << 1+2+3+4+5+... >>
    Sans définition, on parle dans le vide !!!

  33. #30
    Médiat

    Re : somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

    1) Je me fous complètement d'une vidéo trouvée sur le net.
    2) L'addition de 2 réels est définie et comme le résultat est un réel on sait définir n'importe quelle somme finie de réels
    3) La notion de suite réelle est définie
    4) La notion de limite de suite réelle est définie
    5) Certaines suites, comme , ont une limite finie, l'abus d'écriture (pour , est justifié, car cette somme "infinie" (qui n'est pas définie) étend, naturellement la notion de sommes finies
    6) N'importe qui peut définir autre chose en mathématiques, si la définition est claire, non ambiguë, utile à quelque chose
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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    Dernier message: 24/07/2004, 14h04