somme infinie 1+2+3+4+5+... égale à -1/12 ???

[invitecd32eb14]

Bonjour/bonsoir,

je viens de voir sur youtube (https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww ) qu'on peut démontrer que la somme infinie 1+2+3+4+5+... vaut -1/12 !!!

Est-ce que vous pensez que ce sont des mathématiques sérieuses ? Le meilleur, c'est que ce résultat est utilisé en Théorie des cordes!

Pour arriver à ce résultat, on part de la somme infinie 1-1+1-1+1-1+1-1+... : quand on regarde les sommes partielles de cette série, on trouve comme valeurs 1 ou 0 , selon qu'on s'arrête après un nombre impair ou pair de valeurs, alors on dit que la valeur de la limite pour la somme infinie est 1/2, la moyenne des deux valeurs 1 et 0 : ça me paraît complètement ridicule, cette série diverge, elle n'a pas de limite, plutôt que de dire qu'elle vaut 1/2 : qu'en pensez-vous ?

[Médiat]

Bonjour,

Déjà discuté plusieurs fois, par exemple : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post5116810
http://forums.futura-sciences.com/sc...ossible-3.html

Je précise : Oui ce sont des mathématiques sérieuses, il n'y a aucune raison de ne pas les utiliser en physique, l'arnaque, c'est de l'appeler (et de le noter comme une) somme.

[invitecd32eb14]

Ah! OK, désolé, mais j'ai cherché "-1/12" avant de poster et je n'ai eu aucun résultat...

Il reste que je trouve le fait de dire que 1-1+1-1+1-1+... vaut 1/2 parce qu'on prend la moyenne des deux valeurs 1 et 0 , me paraît vraiment ridicule au niveau mathématique! Cette série diverge, elle n'a pas de limite.

[Médiat]

Comme je l'ai écrit : c'est une arnaque au niveau vocabulaire, ce qui entraîne votre remarque : ce n'est pas la limite d'une série.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Ce n'est pas plus ridicule que de définir un nombre qui est la racine carrée de -1 alors que chacun sait qu'elle n'existe pas.
Ou de faire la théorie des catégories qui permet de manipuler d'une certaine façon "tous les ensembles" alors qu'on sait que l'ensemble des ensembles n'existe pas.

L'histoire des maths, c'est de définir de nouveaux concepts et tant qu'ils sont cohérents dans leur contexte, tout va bien. Mais chacun de ces concepts choquent certains au départ...

[Médiat]

Ce n'est pas plus ridicule que de définir un nombre qui est la racine carrée de -1 alors que chacun sait qu'elle n'existe pas.

Non, c'est extrêmement différent, d'ailleurs que veut dire "elle n'existe pas" dans votre phrase ?

Evidemment que l'on peut définir de nouveaux concepts (et pas seulement en mathématiques), ce qui est ridicule, pour ne pas dire pire, c'est de laisser entendre qu'un nouveau concept ... n'est pas nouveau.

Ou de faire la théorie des catégories qui permet de manipuler d'une certaine façon "tous les ensembles" alors qu'on sait que l'ensemble des ensembles n'existe pas.

Je laisse les spécialistes des Catégories vous répondre

[invitecd32eb14]

@ pm42 : la racine de -1 n'existe pas... dans l'ensemble des réels, c'est pour ça que ça a donné naissance au concept de nombres complexes, là il n'y a rien de choquant.

Mais dire que 1+2+3+4+5+... vaut -1/12 : qui peut admettre ça sérieusement ? Ou alors, qu'est-ce que ça veut dire ???
Est-ce que c'est un truc un peu étonnant comme les dimensions 2/3 ( par exemple ) des fractales ?

Il est évident pour moi que si ce truc est vrai ( 1+2+3+... = -1/12 ), alors il faut le comprendre d'une manière qui n'est pas la manière usuelle, il faut donner un sens nouveau à ce = -/12 ; sinon, si on est prêt à admettre sans broncher cette égalité comme étant à prendre "au premier degré", je crois qu'il faut abandonner les maths...

Qui saura expliquer le sens profond de ce truc bizarroïde ? Merci d'avance... ( je vais d'abord jeter un coup d'oeil sur le forum )

[invitecd32eb14]

oui, comme indiqué dans une réponse, il est vraiment utile d'aller jeter un coup d'oeil à :https://sciencetonnante.wordpress.co...s-divergentes/

Là où j'en reste coi ( à première vue ), c'est qu'on a :

A = 1-1+1-1+1-1+...
A = 1-(1-1+1-1+1-1+...) soit A = 1- A, soit A = 1/2 !!! Mais c'est vrai qu'on manipule des infinis, et là je crois qu'il faut se tourner du côté de Cantor... Si A est le cardinal de N ( entiers naturels ) par exemple, alors A + 1 = A, A + 2 = A, etc... ce qui ne permet pas d'affirmer que 1=0, 2 = 0 etc... en retranchant A à chaque fois de chaque côté de l'égalité. Conclusion : ( à mon avis ) ce 1+2+3+4+5+... = -1/12 c'est de la pure foutaise, heureusement que Cantor était là.

[PlaneteF]

Bonjour,

Conclusion : ( à mon avis ) ce 1+2+3+4+5+... = -1/12 c'est de la pure foutaise,

Mais il n'y a pas la moindre foutaise (sic) là-dedans, comme déjà mentionné il s'agit d'un abus ou d'une simplification d'écriture pour dire que :

C'est la sommation de Ramanujan appliquée à cette série qui vaut , ... personne de sérieux n'a jamais dit que c'était la somme au sens usuel !

Voici un lien que l'on peut étudier et qui explique tout cela (et puis c'est tout )

https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

... heureusement que Cantor était là.

Aucun rapport avec Cantor --> Cf. le lien précédent.


Cordialement

[Médiat]

Il est évident pour moi que si ce truc est vrai

Vocabulaire très dangereux en mathématiques, la preuve ici-même.

[invitecd32eb14]

@ PlaneteF : moi je prends la démonstration qui part de 1-1+1-1+1-1+... = 1/2 ; là où je trouve que ça a un rapport avec Cantor, c'est qu'on peut trouver ce 1/2 en disant que A = 1 - A ( voir mon message précédent ), d'où on déduit A = 1/2 ; or on n'a pas le droit de faire cette déduction, car on manipule des infinis, et ce n'est pas si simple ( merci Cantor, donc ). Ceux qui ne veulent pas admettre ça ont un problème, je suis désolé pour eux.

1-1+1-1+1-1+... ne vaut ni 1/2 ni autre chose, il n'y a pas de limite point barre.

Ramanujan était sans doute un génie, en particulier concernant le nombre pi, mais je pense qu'il doit y avoir le même problème de manipulation de l'infini dans sa formule, d'où l'erreur ( à savoir, 1+2+3+4+5+... = -1/12 EST une erreur ). Sinon, voir mon message précédent encore une fois, on a le droit de dire que 1 = 0, 2 = 0 etc...

[PlaneteF]

@ PlaneteF : moi je prends la démonstration qui part de 1-1+1-1+1-1+... = 1/2 ; là où je trouve que ça a un rapport avec Cantor, c'est qu'on peut trouver ce 1/2 en disant que A = 1 - A ( voir mon message précédent ), d'où on déduit A = 1/2 ; or on n'a pas le droit de faire cette déduction, car on manipule des infinis, et ce n'est pas si simple ( merci Cantor, donc ). Ceux qui ne veulent pas admettre ça ont un problème, je suis désolé pour eux.

1-1+1-1+1-1+... ne vaut ni 1/2 ni autre chose, il n'y a pas de limite point barre.

Ramanujan était sans doute un génie, en particulier concernant le nombre pi, mais je pense qu'il doit y avoir le même problème de manipulation de l'infini dans sa formule, d'où l'erreur ( à savoir, 1+2+3+4+5+... = -1/12 EST une erreur ). Sinon, voir mon message précédent encore une fois, on a le droit de dire que 1 = 0, 2 = 0 etc...

Soupirs ... très, très longs soupirs.

Cf. message#10 (entre autres), ... pas envie de répéter 15000 fois ce qui a déjà été vu 15000 fois sur ce forum

Cordialement

[invitecd32eb14]

donc vous admettez sans broncher, cela ne vous pose aucun problème, que 1+2+3+4+5+... = -1/12 ???

Et si ce n'est pas la somme au sens usuel, alors qu'est-ce que ça veut dire ?

[pm42]

Non, c'est extrêmement différent, d'ailleurs que veut dire "elle n'existe pas" dans votre phrase ?

Vu le contexte et sauf à supposer que je ne sais pas ce qu'est un nombre complexe alors que je cite la théorie des catégories, cela me semble évident : on enseigne qu'elle n'existe pas pendant un certain temps, c'était aussi l'état de l'art pendant des siècles jusqu'au jour où on introduit une nouvelle construction qui permet de la créer.

Vu qu'on est dans le contexte de quelqu'un qui a du mal avec un concept nouveau, je prenais cela comme exemple. Je vois assez peu d'intérêt à vouloir faire de la rigueur bourbakienne dans ces situations mais il est vrai que c'est la norme en France.

[inviteded0667c]

*** Provocation ridicule, comme d'habitude ***

ces sommes dont l essentielle question est leur cohérente convergence dans un corps connu semble si mathematiquement ridicule faute d un manque de rigueur de l auteur. Elles n en sont pas moins exacts et c est ce qui vous troubla. L'imprecision est aisément comblé considérant les series formelles, puis le plongement complexe (le passage aux series formelles peut etre sauté) et le prolongement complexe en -1. Ces mathématiques sont justes, juste imprécises. Prendre la moyenne est une coicindence ici de la valeur du prolongement analytique qui coincide. Sachez cependant deux choses : d une part Euler à démontré la valeur de la somme des inverses des carrés d'entiers de manière bien formelle, négliger la convergence de telle série n est pas inintéressant, leur lien l' est, après on trouve un corps ou ça converge et cela est assez rigoureux pour convaincre. Deuxio, lorque Cauchy à présenté sa théorie de prolongement analytique à l école polytechnique, il a fait une mise en garde vis à vis de ces sommes infini qui n ont semble t il pas de sens sans le prolongement analytique. Ceci pour éviter le genre de débat ici présent. Alors pensez y, prolongement analytique !

[leon1789]

(...) puis le plongement complexe et le prolongement complexe en -1. (...)Alors pensez y, prolongement analytique !

Oui, c'est bien cela, prolonger la fonction Zeta : définie au début pour Re(z)>1 , puis la prolongée pour tout complexe z distinct de 1.

Mais ce qui est complètement subjectif à mes yeux, c'est d'avoir choisi un prolongement analytique pour calculer 1+2+3+4+5.... Pourquoi ce prolongement particulier ? Est-il canonique ? C'est parce-que les fonction analytique sont "rigides" ? On aurait pu prolonger par un autre type de fonction et tomber sur une valeur quelconque de 1+2+3+4+5+... , non ?