Calcul de proabilité

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour à tous.

Un ami m'a soumis une question à laquelle j'ai du mal à répondre, sans devoir passer par le concept de fonction génératrice de moments.

C'est tout bête :
On lance 5 dés allant chacun de 0 à 100
Quelle est la probabilité que la somme des résultats des 5 dés soit inférieure à 33 ?

De manière équivalent, je préfèrerais qu'on réponse à cette question:
On lance D dés allant chacun de 0 à N-1.
Quelle est la probabilité que la somme des résultats des D dés soit inférieure à X?


Je vous remercie pour votre aide!
a+
-----

[geometrodynamics_of_QFT]

PS:
Je comprends qu'on cherche la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui est la somme de 5 variables aléatoires discrètes de distribution uniforme, de manière à calculer
Mais je ne parviens pas à trouver la distribution de cette variable aléatoire .

[leon1789]

Nombre de cas possibles divisé par le nombre de cas possibles ?

[Médiat]

Bonsoir,

Nombre de cas possibles divisé par le nombre de cas possibles ?

Donc la réponse est 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonsoir,

Nombre de cas possibles divisé par le nombre de cas possibles ?

C'est comme si vous répondiez "F=ma" à tout problème spécifique en mécanique.
J'avais bien compris "nombre de cas total" au dénominateur, mais comment compter le nombre de cas pour qu'une somme de variables aléatoires soit plus petite qu'un certain nombre, et non égale à un nombre?
De plus, comment compter dans le cas général le nombre de cas possibles? Et dans ce cas-ci, comment éviter de compter 33 combinaisons de somme?
Je vous remercie, toute aide est la bienvenue!

[Médiat]

Vous pouvez chercher "partition d'un nombre entier" (mais cela ne donne pas la solution directement)

[gg0]

Une somme d'entiers est inférieure ou égale à 5 si elle est égale à 0, ou égale à 1, ou égale à 2, ou égale à 3, ou égale à 4 ou égale à 5.
Ces événements étant incompatibles, leurs probabilités s'ajoutent. La probabilité que la somme soit égale à X avec n dés se calcule par récurrence sur X et sur n. Bon calcul !

NB : Il est très probable que la formule soit dans le Comtet. (Louis Comtet : analyse combinatoire, PUF 1970).

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

Une somme d'entiers est inférieure ou égale à 5 si elle est égale à 0, ou égale à 1, ou égale à 2, ou égale à 3, ou égale à 4 ou égale à 5.
Ces événements étant incompatibles, leurs probabilités s'ajoutent.

Oui, c'est ce que j'ai dit mathématiquement plus haut par

La probabilité que la somme soit égale à X avec n dés se calcule par récurrence sur X et sur n. Bon calcul !

Je comprends la récurence sur X, mais sur n? le nombre de dés est fixé non?
Est-ce donc inévitablement une "lourde" tâche si l'ont veut la calculer à la main?
N'y a-t-il pas moyen d'éviter de calculer la somme des 33 probabilités, obtenues, j'en conviens, en les partitionnant chacune parmi les 5 dés? Ou en tout cas avec une méthode plus élégante (combinatoire)?

Merci à vous.
PS: personne n'aurait la réponse? (Même si elle est sûrement immensément petite..)

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Je ne suis pas pro en proba, néanmoins, je vais donner quant même mon point de vue ( Qui ne tente rien n'a rien ) :
Pour ce qui concerne la première question :
Pour moi, ton est une variable aléatoire qui est la somme de variables aléatoires chacune suivant une loi de Bernoulli, non ?
En d'autres termes, avec : . ( On considère ici que le tirage est équiprobable ). Par conséquent : .
Pour calculer : , il faut remarquer que la loi : est approximée par la loi normale lorsque : et .

Quelqu'un peut-il confirmer ?

Edit : Réponse fausse. J'ai mal compris l'énoncé.

[geometrodynamics_of_QFT]

Salut chentouf,
merci pour ta réponse.

j'ai deux questions:
1) pour moi z est la somme de variables aléatoires suivant une loi uniforme discrète (un dé à 100 faces)...Bernoulli, c'est plutôt pour des événements binaires non?
2)Je pensais justement qu'ici, on ne pouvait pas faire l'approximation de la distribution normale...car il n'y a que 5 dés!
De plus, dans le cas que tu présentes, n=5 <<30 ?
Merci pour tes éclairages.

Edit: ok j'attends une autre réponse alors

[invitecbade190]

Je m'excuse geometrodynamics_of_QFT. Je n'ai raconté que des co***ies.

[geometrodynamics_of_QFT]

non mais comme tu disais, qui ne tente rien n'a rien!
merci d'avoir essayé, mais en attendant, je bloque toujours

[geometrodynamics_of_QFT]

Par exemple, pour un problème plus simple :
On lance D=2 dés allant chacun de 0 à N=6.
Quelle est la probabilité que la somme des résultats soit inférieure à S=3?

Soient des variables aléatoires uniformes discrètes, prenant valeur entre 1 et 6.
Soit

On veut trouver

Ici, avec seulement 3 cas, c'est simple de calculer le nombre de façons de faire telle somme en lançant les dés.
Mais si les dés ont 100 faces et qu'il y a un grand nombre de cas à calculer (ici 33)?

Et surtout, quelle est la loi de distribution de ???
Quelle est la loi de distribution de la somme de variables aléatoires uniformes discrètes???
Merci

[invite9dc7b526]

A mon humble avis il n'y a pas d'autre moyen que de faire le calcul numérique. Il faut énumérer le nombre de façons d'obtenir un nombre plus petit que 33 en sommant 5 nombres entiers naturels.

Tu peux obtenir une approximation à l'aide de simulations.

sous R, je ferais comme ça:

simule.des <-function(nbrep,n=100,d=5,k=33) mean(apply(matrix(trunc(runif( nbrep*d)*(n+1)),ncol=d),1,sum) <=k)

en lançant 2 fois la fonction j'obtiens (1e6=1000000):

> simule.des(1e6)
[1] 4.4e-05
> simule.des(1e6)
[1] 4.2e-05

ça change évidemment avec les simulations mais on a l'ordre de grandeur de la proba cherchée.

[Resartus]

Il n'y a pas formule explicite pour la probabilité d'avoir une somme donnée, si ce n'est par une somme de combinaisons, qui devient inextricable dès que le nombre est un peu grand. Et pour la probabilité d'avoir un résultat inférieur ou égal à cette somme, il ne reste plus qu'à additionner encore....
Voici comment se fait le calcul
http://mathworld.wolfram.com/Dice.html


Le plus simple est donc, soit de régarder des tables, soit si le nombre est assez grand, d'approximer par la loi gaussienne.

[Médiat]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, c'est plus simple que la partition d'un entier :

Je pose le nombre de façon d'écrire comme somme de nombres positifs ou nuls, pour et , et pour obtenir moins de avec nombres.

Il est facile de voir que et , et d'établir la relation de récurrence (pour )
Cette dernière relation permet de démontrer que et donc que pour obtenir moins de , il suffit de sommer :
.

Cette relation peut aussi s'obtenir par une petite astuce : considérer n objets plus k-1 séparateurs, on obtient directement :

Je n'ai pas cherché de formule fermée, mais il existe tellement de relation avec les combinaisons ...

[invite9dc7b526]

dans P(n,k) tu comptes toutes les permutations ou pas?

[Médiat]

Oui, puisqu'il s'agit de dés, et c'est pour cela que ce n'est pas la partition d'un entier comme je l'avais pensé en premier lieu, à tort.

[leon1789]

Nombre de cas possibles divisé par le nombre de cas possibles ?

Donc la réponse est 1

oups, en effet : Nombre de cas favorables (!) divisé par le nombre de cas possibles

Bref, on tombe sur : 501942 / 101^5 (on peut y arriver en additionnant des entiers, sans parler de loi binomiale)

[Médiat]

C'est à dire

[leon1789]

oui, exactement

On lance D dés allant chacun de 0 à N-1.
Quelle est la probabilité que la somme des résultats des D dés soit inférieure à X?

Le numérateur vient des partitions de l'entier X avec D+1 dés (l'astuce est de considérer D+1 dés pour faire une somme égale à X exactement, grâce au D+1 ième dé virtuel).

[Médiat]

Pas si simple : N = 2, D = 3, X = 4, vous trouvez (sauf erreur de calcul) :35/8 au lieu de 1
Et pour N = 2, D = 3, X = 2, vous trouvez 10/8 au lieu de 8/9.

Ma démonstration ne marche que parce que 33 <= 100

[leon1789]

oui, il faut X < N (sinon il y a des "effets de bord").

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour,
Merci à tous pour vos contributions!

Le numérateur vient des partitions de l'entier X avec D+1 dés (l'astuce est de considérer D+1 dés pour faire une somme égale à X exactement, grâce au D+1 ième dé virtuel).

Ne serait-ce pas dès lors


Car il me semble qu'il ne faille pas uniquement partitionner X? mais tous les entiers inférieurs également..non?

[geometrodynamics_of_QFT]

Oups, désolé Mediat...après relecture plus attentive, je retire ce que j'ai dit...qui n'était rien d'autre que le Q(n,k).
C'est fou comme un problème en apparence simple peut se révéler machiavélique! Et qu'il n'existe pas de méthode pour X~N, sauf une somme explicite où chacun des X terme est calculé indépendament.

Mais au fait, n'y a-t-il pas moyen de passer par la fonction génératrice de moment pour la distribution uniforme discrète, afin de pouvoir calculer celle de la somme des 5 variables aléatoires (ou des D), et ensuite de l'intégrer pour obtenir la fonction de répartition?

[invite9dc7b526]

C'est plutôt la fonction générarice des probabilités qu'il faut calculer. Mais dans un cas comme celui-ci ça n'aide pas vraiment.