Impulsion de Dirac

[invited8108588]

Bonjour :
pourquoi l'intégral sur de l'impulsion de Dirac égale à 1
Cordialement.
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[Resartus]

C'est sa définition! On a cherché un moyen d'utiliser la dérivée de la fonction échelon de Heaviside (0 si t<0, 1 si t>0), dérivée qui n'existe pas en maths, mais que les physiciens n'ont eu aucun scrupule à inventer, et à baptiser impulsion "delta" (de dirac).

L'intégrale de delta entre un nombre négatif quelconque et un nombre positif quelconque est donc 1. Plus généralement, si on intègre le produit de delta par n'importe quelle fonction sur un intervalle qui contient 0, on obtient la valeur de la fonction en 0 (on peut faire une intégration par parties pour le vérifier).

On peut de même définir delta' (dérivée de delta). Si on intègre le produit de delta' par n'importe quelle fonction, on obtient la valeur de la dérivée de cette fonction en 0. Idem avec dérivée seconde, troisième...

C'est seulement plus tard que les mathématiciens (le Français Laurent Schwartz en particulier) ont inventé la théorie des distributions, qui donne un peu de sérieux mathématique à ces "fonctions"

[invited8108588]

Bonjour ,
Donc c'est par définition .
Merci pour votre répense.

[TCHAPAIEV]

Attention attention !!!!!! Pour comprendre cette définition il faut voir d'où elle provient ; prendre une fonction lisse NULLe hors de l'intervalle [-1/n, 1/n], positive et dont l'intégrale vaut 1 ; c'est facile on prend une fonction positive fn comme indiqué , on prend son intégrale qui est un nombre >0 sauf si f nest nulle et on pose gn= fn / intégrale de fn ; la fonction gn ( n est en indice !!!) convient ; maintenant il est à peu près évident que si n augmente , la fonction gn aura tendance à n'exister que sur un voisinage d eplus en plus petit de zéro et la seule façon qu'elle puisse rester d'intégrale 1 est justement que la suite gn(0) tende vers l'infini ; il n'existe PAS de fonction qui soit nulle partout sauf en 0 et d'intégrale égale à 1 MAIS c'est ue visualisation de la "fonction" de Dirac, que à votre stade on peut voir comme une limite de vraies fonctions dont le comportement à l'infini explose ; il se trouve que si on multiplie gn par une fonction fixe G disons constinue et nuelle hors de l'intervalle [-A, A] , on PEUT ALORS appliquer le théoréme de lebesge et on trouve ainsi que la limte est justement G(0) ; par suite on a défini un objet qui n'est PAS une fonction mais qui associe à TOUTE fonction continue G nulel hors d'un compact la valeur G(0) ; c'est ce qu'on appelle RIGOUREUSEMENT la MESURE de DIRAC

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

De quel théorème de Lebesgue parles tu Tchapaiev? J'ose espérer qu'il ne s'agit pas du théorème de convergence dominée, ce dernier ne s'appliquant pas du tout ici

[TCHAPAIEV]

Désolé Tryss2 ,oui j'ai un peu dérapé ; tu as raison ; il faut raffiner un peu et écrire la différence entre l'intégrale et la valeur G(o) qui est justement l'intgrale de Gn . G(0) ; au voisinage de 0 la différence entre G et G(0) est petite et on majore sur UN VOISINAGE DE 0 par le sup de la différence sur ce voisinage fois l'intégrale de Gn qui vaut 1 ; sur le COMPLEMENTAIRE du voisinage fixé une fois pour toutes , Lebesgue s'applique parfaitement et la limite est nulle ( je souligne qu'on intégre sur un compact fixe support de G ; ça ne change rien pour Gn pourvu que le support de G contienne celui de Gn ce qui est vrai pour n assez grand ) ; de sorte qu'en rasssemblant les morceaux on voit que l'on a la limite cherchée . Ca va comme ça ?

[TCHAPAIEV]

Desillions d'excuses ; voilà ce que c'est que de poster sans réfléchir ; ce que j'ai écrit est une monstruosité ; Tryss 32 a complétement raiosn ; le Theome de lebesque ne s'applique PAS ; point barre ; une partiede mon post précédent est correcte mais incompréhensible et sur le complémentaire du voisinage fixé par G , l'intégrale est Nulle pour n assez grand pa rdéfinition ; pas de Lebesgue ici ! une honte ! Scadaleux ; dois-je aller à Rome à genoux?

[invite6bfdf32a]

Desillions d'excuses ; voilà ce que c'est que de poster sans réfléchir ; ce que j'ai écrit est une monstruosité ; Tryss 32 a complétement raiosn ; le Theome de lebesque ne s'applique PAS ; point barre ; une partiede mon post précédent est correcte mais incompréhensible et sur le complémentaire du voisinage fixé par G , l'intégrale est Nulle pour n assez grand pa rdéfinition ; pas de Lebesgue ici ! une honte ! Scadaleux ; dois-je aller à Rome à genoux?

Non mais tu iras à pied car on te payera pas le billet!

[TCHAPAIEV]

Bon je crois ce sujet clos ; si la réponse est non ; ce n'est ni à genoux ni à; pied et je ne demande à personne de
payer le billet .

[invite6bfdf32a]

N'oublie pas ton peigne de Dirac pour le voyage...