f-1 et bijection

[invitee32d905d]

Bonsoir à tous,

J'ai une question à vous poser dont je ne trouve pas de réponse satisfaisante:

Si on a une application bijective, peut-on toujours calculer f-1? Si non dans quels cas? Et pour le calculer par définition comment fait-on?

Merci d'avance
Bonne soirée
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[invite23cdddab]

Ça veut dire quoi "calculer" pour toi?

Si ça veut dire "exprimer à l'aide d'une combinaison finie de fonctions simple", la réponse est non.

D'ailleurs, peut tu "calculer" la réciproque de la fonction f(x)=x² (sur les réels positifs). Tu va avoir besoin de la racine carrée, qui est justement définie comme étant la réciproque de cette fonction.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour aller dans le même sens que Tryss2, c'est la même chose que lorsque l'on demande de résoudre dans l'équation . On va bien évidemment répondre que l'unique solution est , ... sachant que est défini comme étant l'unique solution de l'équation .

Question : A t-on "résolu" cette équation en disant que ?

Cordialement

[invitee32d905d]

Ah d'accord merci je vois, mais est-ce qu'on a une règle pour dire: celle-ci on peut la calculer et celle-ci non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Il y a finalement assez peu de cas où les fonctions réciproques peuvent s'exprimer par des fonctions simples. Même une expression polynomiale simple ne peut pas toujours être inversée, dès que le degré dépasse 4.
Quand ils en ont eu besoin, les mathématiciens ont défini des fonctions élémentaires indispensables (comme logarithme népérien, réciproque des fonctions trigonométriques) ou moins élémentaires : fonctions elliptiques, fonction de lambert, etc.
Le seul critère pour un étudiant : si le prof pose la question, c'est qu'il y a une méthode pour trouver une expression... (ou alors, c'est un piège)

[pm42]

Même une expression polynomiale simple ne peut pas toujours être inversée, dès que le degré dépasse 4.

D'un autre coté, les expressions polynomiales simples sont quand même rarement bijectives.

[Resartus]

On peut toujours restreindre le domaine, comme dans le cas cité de la racine carrée...

[pm42]

On peut toujours restreindre le domaine, comme dans le cas cité de la racine carrée...

En déterminant les domaines où le dit polynôme est monotone ? Peut on faire cela sans déterminer les racines de sa dérivée ? Comment fait on pour un polynôme de degré 10 par exemple ?

[invite47ecce17]

Question : A t-on "résolu" cette équation en disant que ?

Bah, pas plus pas moins que toutes les autres équations...

[invite9dc7b526]

oui c'est vrai qu'on peut dire que résoudre ax=b par x=b/a c'est juste une façon de définir la division (ou l'inverse). Du coup on ne saurait même pas inverser les fonctions linéaires, quelle misère!

[Médiat]

Bonjour,

oui c'est vrai qu'on peut dire que résoudre ax=b par x=b/a c'est juste une façon de définir la division (ou l'inverse). Du coup on ne saurait même pas inverser les fonctions linéaires, quelle misère!

Et c'est bien comme cela que l'on peut construire les rationnels à partir des entiers, de la même façon que l'on peut définir les extensions algébriques (comme , ou à partir de )

[invite9dc7b526]

Et même l'équation du type x+2=0 permet de définir les nombres négatifs (lesquels ne nous ont pas été donnés par les dieux selon Kronecker)

[PlaneteF]

Bah, pas plus pas moins que toutes les autres équations...

Et c'est bien cette réponse que sous-entendait la question dans le contexte où elle a été posée.

Cdt

[invitee32d905d]

Oh désolée je remarque que j'avais oublié d'envoyer ma réponse :Merci !