Bijection!
Salut tout le monde,
petit exo sur la bijection:
On considère l'application f:R²→R²
(x,y)→ (x+y,x-y)
f est-elle bijective? Si oui, expliciter son application réciproque.
Je bloque BEAUCOUP sur l'écriture (x,y)->(x+y,x-y), je sais qu'il faut montrer qu'elle est à la fois injective et surjective mais comment s'y prendre?
Bonjour,
Le plus simple est de prouver que tout élément (a,b) de R² admet un unique antécédent, ce qui fournit du même coup l'expression de la bijection réciproque.
Autrement dit, il faut résoudre en (x,y) : (x,y)→(a,b).
S'il y a toujours une solution unique, alors f est bijective et f-1 est donnée par : (a,b)→(x,y).
Salut,
le but du jeu est de résoudre, en fonction de x et y, le système a=x+y, b=x-y
si tu montres que pour tout couple a,b, il existe une et une seule solution, tu as montré l'injectivité et la surjectivité.
ok, alors tout simplement on peut résoudre le système x+y=a et x-y=b ce qui me donne x=(a+b)/2 et y=(a-b)/2 pour uniques solutions avec a et b fixé donc c'est bijectif, tout simplement?
Oui
C'est un système linéaire qui permet de trouver très rapidement les solutions (comme tu l'as fait) qui sont bien uniques pour des valeurs de a et b fixées.
L'application est donc bijective de réciproque g: (a,b)------>((a+b)/2,(a-b)/2), comme tu l'as écrit (je ne fais donc que répéter ^^).
Remarque: D'ailleurs, on observe imédiatement que, ce qui confirme que f est bijective de réciproque g.
Dernier commentaire (peut être inutile, mais bon): cette transformation d'écriture
Enfin, on s'éloigne peut être un peu de la bijection, quoique ^^
