Série avec permutation

[invite899aa2b3]

Bonjour.
Soit une bijection.
On cherche à déterminer la nature de la série de terme général:
.
Tout ce que j'ai réussi à établir, c'est que la série est divergente si est l'identité.
On sait que la série est à termes positifs, donc si y il a convergence elle est aussi absolue. Donc, si est une autre bijection et si la série de terme général converge alors la série de terme général converge.
Je ne sais pas si ce résultat est d'une quelconque utilité.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

La série de terme général s'étudie via le critère de Cauchy. Seule l'injectivité de est utile.

[invite899aa2b3]

Ah oui je comprends. Si on note les sommes partielles , on a:
. Grâce à l'injectivité, on a: . On peut alors conclure que la série diverge quelque soit la bijection.
Merci God Breath!

[invite96932cc8]

la question devient intéressante avec un cube en bas au lieu du carré

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite96932cc8]

ou une puissance entre 2 et 3

[invite899aa2b3]

"Devient intéressante" veut dire qui'il y a des bijections pour lesquelles la série converge et d'autres non?

[invite96932cc8]

c'est ce que j'espère

[invite3240c37d]

Quelque soit a , il existe une permutation telle que diverge .
Il suffit de prendre b> a un entier strictement positif, et telle que ...

[invite96932cc8]

trop facile; j'impose en plus que sigma(n)<n puissance a

[invite3c51923e]

Bonjour,
Je remonte le sujet car le titre est très bien.

Voici ma question :
Soit sigma définie comme dans le premier post.

Que peut on dire de la série de terme général connaissant la série de terme général .
Si tout les termes sont de même signe alors la nature de ces deux séries est la même mais que peut on dire si les termes ne sont pas de signe constant?
Avez vous un exemple où une des séries converge mais pas l'autre?
Merci,

[inviteea028771]

Si la série est absolument convergente alors sa permutation converge (vers la même valeur)

Si la série est convergente mais n'est pas absolument convergente alors sa permutation peut converger vers n'importe quelle valeur (ou ne pas converger):
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...ent_de_Riemann

[invite3c51923e]

Merci beaucoup pour le lien! C'est exactement ce que je voulais, je ne devais pas chercher avec les bons mots-clés sur google.