Fonctions exponentielle et logarithme népèrien

[Evocation]

Bonjour.
Je suis un étudiant en première année de prépa (MPSI) et j'ai besoin d'un peu d'aide concernant un exercice.

Auparavant, j'ai démontré que pour tout réel positif x : .

Maintenant, pour tout entier naturel non nul n, et pour tout u appartenant à l'intervalle [-n, +infini], je dois déterminer le signe de la différence :
.

Mon idée est de poser et donc et d'utiliser le résultat précédemment démontré.

J'arriverai aisément à résoudre l'exercice si j'arrivais à prouver que .

Pour cela, je me suis dit qu'il est possible que soit la réciproque de ln(1+x), ce qui serait utile vis-à-vis de mon premier résultat. Cependant je n'ai pas réussi à avancer plus que ça.

Pouvez vous m'aiguiller ?

Cordialement.
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[Médiat]

Bonjour,

Vous vous compliquez la vie, il suffit de poser

[Evocation]

Le soucis est que u/n appartient à l'intervalle ] -1 , + infini [ alors que dans ma démonstration x est un réel positif.
Il faudrait que j'étende mon premier résultat à R ?

[Médiat]

La relation ln(1 + x) <= x est valide dans ]-1, infini[

[A voir en vidéo sur Futura]

[Evocation]

Pouvez m'aider quant à cette démonstration ?
J'ai une idée, mais elle ne repose pas sur un théorème du cours :

En dérivant les deux membres sur l'Intervalle [-1,0], je prouve que les deux fonctions sont strictement croissantes et que la fonction x -> ln (1+x) croit plus rapidement que x->x sur l'Intervalle [-1,0].
Comme ces deux fonctions tendent vers un même réel lorsque x tend vers 0, alors sur l'Intervalle [-1,0] ln (1+x) <=x.

Est-ce que mes justifications sont suffisantes ?

[gg0]

C'est bien compliqué, alors que l'étude de ln(1+x)-x donne immédiatement le résultat.

Rappel : Pour comparer deux nombres, on peut examiner leur différence.

Cordialement.

[Evocation]

Merci pour vos conseils. Le sujet est bouclé.