Les fonctions Logarithme népérien

[invite3b09ac13]

Bonjour, j'ai un devoirs maison de mathématiques et en faite je bloque vraiment dessus car en cours nous avions juste fait des petits exercices sur les logarithmes (on vient de commencer) et là j'avoue que je suis completement perdus. Si vous pouviez y faire quelque chose sa me rendrait Vraiment service!

Soit P(x)=-x³ -3x²+6x+8

1/ Montrer que P(x) peut sécrire sous la forme de P(x)=(x+1)(-x²-2x+8)

2/ Résoudre P(x)=0

3/ Résoudre les équations et inéquations suivantes:

a/ -(lnx)³ -3(lnx)²+6lnx+8=o
b/-(lnx)³ -3(lnx)²+6lnx+8 <0
c/ln2+ln(x²+3x+4)=2lnx+ln(x+5)( je sais pas du tout si c'est sa mais j'ai trouver que l'ensemble de définition était ]0;+oo[ et que ln(2x²+6x+8)=ln(x²)+ln(x+5)
équivaut à: ln(2x²+6x+8)=ln(x³ +5x²)
(lna=lnb équivaut à a=b)
équivaut à: 2x²+6x+8=x³ +5x²
équivaut à x(-x²-3x+6)=-8
équivaut à x= -8/(-x²-3x+6) j'ai au moins essayer )

Puis enfin:
d/ln2+ln(x²+3x+4 < 2lnx+ln(x+5)

Merci D'avance. . .
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[matthias]

équivaut à x(-x²-3x+6)=-8
équivaut à x= -8/(-x²-3x+6)

Quelle idée de transformer une belle équation polynomiale déjà résolue dans les premières questions en truc pas beau ...

[invite3b09ac13]

Ben oui, mais bon je comprends pas la faut dire ce qui est ...

[matthias]

Tu as résolu les premières questions ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3b09ac13]

j'ai essayer mais en vain: je trouve p(x)=x(-x²-2x+6)+8

[matthias]

Mais on te donne déjà l'expression factorisée. Il suffit donc de développer (x+1)(-x²-2x+8) et de voir que tu retombes bien sur P(x). C'est plus simple dans ce sens là.

[invite3b09ac13]

Ah je pensais qu'on devait y aboutir! donc cela fait p(x)=-x^3-2x²+8x-x²-2x+8
p(x)=-x^3-3x²-6x+8
donc p(x) peut sécrire de la forme p(x)=(x+1)(-x²-2x+8).

Mais pour résoudre p(x)=0? il faut étudier le discriminant ainsi que x+1=0 si et seulement si x=-1?
Avec le discriminant sa ferait delta=(-2)²-4(-1)(8)
=4+32=36
donc x'=-2 et x"=4?

[matthias]

Ah je pensais qu'on devait y aboutir!

Il suffit de montrer que les deux formes sont égales, peut importe le sens. Mainetnant il est bon de savoir le faire dans le sens inverse, parce qu'on ne te donnera pas toujours la forme factorisée à trouver.

Mais pour résoudre p(x)=0? il faut étudier le discriminant ainsi que x+1=0 si et seulement si x=-1?
Avec le discriminant sa ferait delta=(-2)²-4(-1)(8)
=4+32=36
donc x'=-2 et x"=4?

Le discriminant est bon mais tu as fais une erreur sur tes racines. Fais attention, ici le terme devant x² c'est -1 pas 1.

[invite3b09ac13]

Ah d'accord Merci beaucoup !
p(x)=0 a donc 3solutions?

[matthias]

Ah d'accord Merci beaucoup !
p(x)=0 a donc 3solutions?

Oui il y a 3 solutions. Tu trouves quoi finalement pour les racines ?

[invite3b09ac13]

je trouve x'=(2-6)/(2*-1)=2
et x"=(2+6)/(2*-1)=4 Voilà!

[matthias]

et x"=(2+6)/(2*-1)=4 Voilà!

J'imagine que tu voulais écrire -4 et non 4

Maintenant avant de passer aux autres questions, tu devrais mettre P(x) sous forme complètement factorisée et résoudre P(x) < 0, tu en auras besoin pour la suite.

[invite3b09ac13]

factorisée c'est-à-dire comme la question 1 soit
(x+1)(-x²-2x+8)<0?

[matthias]

Sauf que tu peux encore factoriser le deuxième terme maintenant que tu as les racines.
Si un polynome P admet une racine a (c'est à dire P(a) = 0) alors tu peux le factoriser par (x-a).
Par exemple, si P(x) = x² - 5x + 6, tu trouves les deux solutions de P(x)=0, 2 et 3, donc P(x) = coeff.(x-2)(x-3).
Ici le coeffcient vaut 1 (tu peux redévelopper pour t'en assurer, mais tu verras que ce coefficient est toujours le même coefficient que devant x²). Donc ici P(x) = (x-2)(x-3)

Donc tu dois faire pareil et factoriser ton deuxième terme qui est aussi un polynome du second degré dont tu as déjà les racines. Tu verras que la forme factorisée est très utile.

[invite3b09ac13]

je comprends serieux mais j'ai du mal sa fait une longue expression
(x+1)(-x-2)(x-4)<0 ?

[matthias]

je comprends serieux mais j'ai du mal sa fait une longue expression
(x+1)(-x-2)(x-4)<0 ?

Non c'est pas très long et c'est très utile. Mais attention, tu fais pas mal de petites erreurs de signe qui peuvent te coûter cher.
Les racines de -x²-2x+8 sont 2 et -4 pas -2 et 4, donc tu dois te trouver avec des facteurs (x-2) et (x-(-4))=(x+4) !!!
Pour être sûr tu redéveloppes pour voir si tu n'as pas fait d'erreur.

[invite3b09ac13]

ben alors (x+1)(-x+2)(x+4)<0 je vois vraiment pas!
cetet factorisation est égal au résultat de p(x) c'est bien cela?

[matthias]

ben alors (x+1)(-x+2)(x+4)<0
cetet factorisation est égal au résultat de p(x) c'est bien cela?

Oui tu as bien P(x) = (x+1)(-x+2)(x+4)
Maintenant pour résoudre P(x)<0 il suffit de faire un tableau de signes. Tu sais faire ça ?

[invite3b09ac13]

Oui je viens de le faire et je trouve que p(x) est positive sur l'intervalle ]-oo,-4[U[-1,2]

[matthias]

Oui je viens de le faire et je trouve que p(x) est positive sur l'intervalle ]-oo,-4[U[-1,2]

C'est presque bon. Il y a une raison particulière pour qu'un des intervalles soit ouvert en -4 et que l'autre soit fermé en -1 et en 2 ?
Et c'est P(x) < 0 qu'il faut résoudre, pas P(x) >= 0, tu me diras si tu as résolu l'un tu as résolu l'autre ...

[invite3b09ac13]

ah mince !! p(x) inférieur à 0 pour tout x appartenant à l'intervalle ]-4,-1[U ]2,+oo[ c'est bon non?

[matthias]

Oui c'est bon. Mais prends l'habitude de préciser strictement inférieur ou inférieur ou égal, sinon il y a toujours une ambiguïté.
Bon allez, les logarithmes maintenant

[invite3b09ac13]

lol ben alors la a/-(lnx)^3 -3(lnx)²+6lnx+8=o
Ben on peut aussi factoriser en faisant (je viens de rechercher) p(x)= -(x - 1)(x -2)(x + 4) non?
On trouve ainsi trois solutions: 1,2 et -4
par contre après je vois pas comment résoudre

[matthias]

Il faut juste remarquer que l'équation peut s'écrire P(ln(x)) = 0.
Si P(x) = 0 équivalent à x = -1 ou x = 2 ou x = -4, alors P(ln(x)) = 0 équivalent à ln(x) = ?

[invite3b09ac13]

-(lnx)^3 -3(lnx)²+6lnx+8=0
ln(x)=-1 donc x=e^-1
ln(x)=2 donc x=e²
ln(x)=-4 donc x=e^4

c'est pas sa? désolé de vous déranger franchement =/

[matthias]

-(lnx)^3 -3(lnx)²+6lnx+8=0
ln(x)=-1 donc x=e^-1
ln(x)=2 donc x=e²
ln(x)=-4 donc x=e^4

c'est pas sa?

A part pour le e^4, c'est bon.

désolé de vous déranger franchement =/

Pas de problème.

[invite3b09ac13]

Merci beaucoup! peu de gens ont votre patience lol

-(lnx)^3 -3(lnx)²+6lnx+8 <0
quand x tend vers -oo p tend ver +oo et pour x tendant vers plus l'infini p tend vers moins l'infini
donc la solution c'est p(x)<0
-4<x<0 et puis 2<0<+oo
je vois pas comment le détaillé fin le raisonnement

[matthias]

Merci beaucoup! peu de gens ont votre patience lol

-(lnx)^3 -3(lnx)²+6lnx+8 <0
quand x tend vers -oo p tend ver +oo et pour x tendant vers plus l'infini p tend vers moins l'infini
donc la solution c'est p(x)<0
-4<x<0 et puis 2<0<+oo
je vois pas comment le détaillé fin le raisonnement

Houla, non, non. C'est beaucoup plus simple que ça.
Il faut juste utiliser les résultats précédents.
Tu as résolu P(x) = 0 et P(x) < 0, pour x réel.
ln(x) est un réel comme les autres, donc tu sais quelles sont les valeurs de ln(x) qui vérifient P(ln(x)) = 0 (question précédente) ou P(ln(x)) < 0
La seule différence, c'est qu'ensuite à partir des valeurs de ln(x) tu dois trouver les valeurs de x.

La solution n'est donc pas -4<x<0 ou 2<x, mais -4<ln(x)<0 ou 2<ln(x)
Il ne reste en fait qu'à en déduire les valeurs de x (en utilisant que la fonction ln est strictement croissante).

[invite3b09ac13]

je vois pas comment déduire les valeurs de x

[matthias]

comment tu résouds ln(x) > -4 sachant que la fonction ln est strictement croissante ?