Somme faisant intervenir les polynômes de Hermite et les coefficients binomiaux

[invitebc03040e]

Bonjour tout le monde,

Je m'intéresse au problème suivant qui apparait naturellement en mécanique quantique dans l'étude de l'oscillateur harmonique.
Le problème consiste a trouver la valeur de l'intégrale



ou est le polynôme de Hermite d'ordre .
Autrement dit je cherche une primitive de la fonction

J'ai réussi à montrer que l'on a



ou est le coefficient binomial et la fonction erreur.

Je suspecte que la somme peut se simplifier. Quelqu'un a une idée?
Merci d'avance!!
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[invitebc03040e]

Salut tout le monde,

Je me permet de "répondre" à ma propre question ou plutôt je donne des résultats qui peuvent être utiles et peuvent donner des idées pour aller plus loin.

Définissons la fonction génératrice des



En utilisant la formule de Mehler pour les polynômes de Hermite http://mathworld.wolfram.com/Mehlers...alFormula.html, on montre que la fonction génératrice satisfait une certaine équation différentielle dont la solution est donnée par



Il s'ensuit que la fonction s'écrit comme la dérivée ieme de la fonction génératrice en :



Le problème revient donc a évaluer la dérivée ieme de la fonction génératrice ci-dessus. Le problème n'est pas pour autant plus simple puisqu'il s'agit de la dérivée ieme d'une fonction composée.

Autrement, je pense que la somme portant sur les polynômes de Hermite peut se factoriser sous la forme



où les fonctions peuvent éventuellement dépendre de . Cette forme est inspirée d'un papier dont je met le lien ici http://dl.acm.org/citation.cfm?id=101109 et qui contient des résultats que l'on ne trouve généralement pas dans les tables usuelles d'intégrales et series.

En espérant que ceci puisse inspirer!
Amicalement,
}{uman