Soit E = {n + 2kπ, n, k ∈ Z}. Le but de l’exercice est de montrer que E est dense dans R.
Soit α = inf{x ∈ E/x > 0}.
1. Il s’agit de montrer que α = 0. Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose
α > 0.
1.1. Montrer que E ne contient pas d’élément dans l’intervalle ]α, 2α[.
1.2. En déduire que α est le plus petit élément de {x ∈ E/x > 0}.
1.3. Montrer que tout élément de E est multiple de α, et en déduire une contradiction.
2. Désormais α = 0.
2.1. Soit ε > 0. Montrer qu’il existe un élément de E dans l’intervalle ]0, ε[.
2.2. Soit x ∈ R quelconque. Montrer qu’il existe un élément de E dans l’intervalle
]x, x + ε[.
2.3. Montrer que E est dense dans R.
3. Application : montrer que l’ensemble {sin n, n ∈ Z} est dense dans [−1, 1].
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