fonction différentiable

**theophrastusbombastus** · 22/10/2015, 18h35

Bonsoir a tous,
petit exo "classique" sur les fonctions différentiables :
Soit $\text{[math]}$ une fonction différentiable deux fois de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ définis par :
$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

montrer que $\text{[math]}$ est une fonction différentiable pour tout point de $\text{[math]}$ et calculer $\text{[math]}$ .

j'ai vu des corrigés, relus mon cours, re-relus des explications mais je ne comprend pas les "différentes méthodes" qui m'ont été expliquées, si quelqu'un pouvait me mettre sur la voie ?

P.S: je ne sais pas faire de D.L a l'ordre 2 d'une fonction a deux variables...

**Resartus** · 23/10/2015, 08h01

Pour vérifier qu'une fonction est différentiable, il faut s'assurer que les dérivées partielles par rapport à x et par rapport à y en tout point x0,y0 existent et sont continues.
C'est évident si x0<>y0. Il reste à s'en assurer pour x0=y0.

Si on calcule la dérivée partielle par rapport à x en un point x=y0+epsilon, on trouve une expression où apparait l'expression de g(x) en fonction de epsilon au voisinage de x=y0. C'est bien un développement limité au second ordre qu'il faut utiliser, mais de la fonction g(x) qui est à UNE variable.

**theophrastusbombastus** · 23/10/2015, 17h51

donc déjà on calcule les dérivées partielles :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

et j'avais déjà eu un problème a ce niveau là, j'en fais quoi des ces dérivées partiels ?!
En fait j'ai un peu de mal a voir par rapport a quoi je fais mon DL et surtout où il doit me mener...
Merci pour vos réponses, je suis désolé de vous embêter avec des problèmes aussi "triviaux", vraiment merci !

**gg0** · 23/10/2015, 18h07

Ce sont les dérivées partielles là où x et y sont différents. Reste à voir ce qui se passe quand x=y. L'énoncé est pourtant clair : "montrer que $F$ est une fonction différentiable pour tout point de $\mathbb{R}^{2}$ ".

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 23/10/2015, 18h43

Salut :

La réponse est trop technique et un peu longue. Elle se troue ici : joseph.divalentin.pagesperso-orange.fr/cours/exercice5.pdf page : $\text{[math]}$ .

Cordialement.

**theophrastusbombastus** · 24/10/2015, 22h04

Alors LA... ces pages d’exercices corrigés c'est juste TERRIBLE !!! j'en cherchais depuis un bout de temps mais sans résultats aussi satisfaisant !
Et la démonstration pour de l'exercice est "élégante", on me l'a jamais présenté comme ca ! un GRAND merci

oui, oui je suis d'accord, mais j'ai encore un peu de mal avec ces notions de "différentiabilité", pour le moment la dimension $\text{[math]}$ me bloque un peu. Donc je vais aller bosser ca

sur ce un énorme merci pour vos réponses !!

fonction différentiable