Fonction d'une variable complexe analytique

[invite72716a18]

Bonsoir,

Soit z=x+iy
Je voudrais un peu d'aide pour montrer que la fonction et la fonction ne sont pas pas analytiques
Est ce que c'est possible de dire que:

et qu'une fonction analytique doit etre seuelement ou ce raisonnement n'est pas mathématique?

Merci
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[CM63]

Bonjour,

Reprends la définition d'une fonction analytique et regarde si elle peut s'appliquer à et à .

[invite5357f325]

Avec les équations de Cauchy-Riemann tu peux montrer le résultat suivant : soit f holomorphe, alors on a équivalence entre : 1) la partie réelle de f est constante, 2) la partie imaginaire de f est constante. En particulier, si f est holomorphe et que re(f) ou im(f) est constante alors f est constante.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Par définition une fonction holomorphe en z_0 a une differentielle en z_0 C-linéaire. Re(z) étant R-linéaire, sa differentielle en z_0 est elle meme, et Re(z) te semble C-linéaire?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite72716a18]

Bonjour,

Une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe ℂ.

Donc je dois passer par les equations de Cauchy-Riemann pour montrer que Re(z) et Im(z) ne sont pas holomorphe. Ou bien montrer que f'(z) n'existe pas?

[invite47ecce17]

Je t'ai répondu plus haut, dire que f est dérivable en z_0, c'est dire que f(z_0+h)=f(z_0)+f'(z_0)h+o(h), autrement dit, ca implique que f soit differentiable et que sa differentielle soit la multiplication par le nombre complexe f'(z_0), qui est donc C-linéaire (il est facile de voir que la réciproque est vraie, car Hom_C(C,C)=C). Or Re(z) n'est pas C-linéaire.