droite réelle achevée.

[invite0731164c]

Bonjour,

Dans la droite réelle achevée {-infini} U R U {+infini} on note +infinit et -infini mais ces éléments ne sont pas opposés l'un de l'autre non?
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[Amanuensis]

Au sens + infini = -1 fois -infini oui ; au sens où leur somme serait définie et vaudrait 0 (qui serait le sens strict pour "opposés", j'imagine), non.

[invite0731164c]

Mais si on étant l'addition sur la droite réelle achevée et qu'on définit infin+infini=infini, cela ne veut-il pas dire que infini=0?

[CM63]

Bonjour,

Lorsque tu écris a+infini=infini, a étant réel quelconque, tu n'en déduis pas que a=0 que je sache, donc non, avec les éléments absorbants on n'a pas le droit de "simplifier" en supprimant à droite et à gauche.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

A priori, infini+infini=infini Ne pose pas de problème, c'est ce qu'on fait en théorie de la mesure. Mais on n'est plus dans le calcul habituel (on n'a plus un groupe), on ne peut pas simplifier par infini :
dans 2+3=2+a, on "simplifie" par 2 en ajoutant -2 aux deux membres.
pour infini, il n'existe pas de "nombre" qui ajouté à infini donne 0. Pas même -infini. Car on souhaite que, pour tout nombre a (y compris infini), a+infini=infini, et pour tout nombre a (y compris -infini), a+(-infini)=-infini. Ce qui fait que pour infini+(-infini), on ne peut pas choisir entre infini ou - infini (toute autre valeur serait une mauvaise idée, puisqu'elle changerait complétement ce qu'on a d'habitude.

Cordialement.

[invite9dc7b526]

Il faut voir que la "droite achevée" est une compactification de R qui respecte la structure d'ordre mais pas la structure de corps. Il n'y a pas de raison pour qu'on puisse étendre les opérations de corps à la droite achevée.

Il existe une autre compactification dans laquelle seul un point est ajouté, c'est la droite projective réelle.

[Amanuensis]

Il existe une autre compactification dans laquelle seul un point est ajouté, c'est la droite projective réelle.

Ou le cercle S1...

[Seirios]

D'ailleurs, chose amusante, il existe seulement deux manières (à homéomorphisme près) de compactifier la droite réelle en ajoutant un nombre fini de points : la droite réelle achevée (autrement dit le segment ) et la compactification d'Alexandroff (autrement dit le cercle ). Sinon, il existe beaucoup de compactifications avec une infinité de points à l'infini.

[Médiat]

Bonjour,

la compactification d'Alexandroff (autrement dit le cercle ). Sinon, il existe beaucoup de compactifications avec une infinité de points à l'infini.

étant la plus "économe" (dans le sens où on ajoute un seul point), et le compactifié de Stone-Čech étant la plus "couteuse" (il faut ajouter points)