Bonjour, j'ai le problème d'optimisation suivant que j'ai vraiment du mal à résoudre :
Soitune matrice carte symétrique réelle de taille
1. Chercher tout les vecteurs unitairesqui réalisent le maximum de
Pour cette question, je n'ai pas eu de difficulté en effet on a :
Les maximums recherchés sont donc les vecteurs propres deunitaire associés à la valeur propre $\lambda_max$, la plus grande valeur propre de
.
2. Soit un sous espace vectoriel dede dimension
. Montrer qu'il existe une matrice
de taille
telle que les colonnes de
engendrent
, et vérifiant
.
Là je ne sais pas trop comment faire. Mon idée serait:
On pose.
On peut donc poser P la matrice engendrantdonc les colonnes de
seraient les
. Après puisque
est la matrice de la base de
, Par caractérisation matricielle des bases,
est inversible. Donc
. Par contre je ne vois pas du tout comment montrer que
3.Soitl'espace des matrices de dimension
muni du produit scalaire de Frobenius :
. Ecrire le lagrangien du problème:
Sous les contraintes:et
Ici par contre, je bloque, j'ai jamais vu fait un tel problème d'optimisation avec simultanément un max et un min oO.
Quelqu'un pourrait m'aider?![]()
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