demontrer par recurrence une inégalité

[invite2ae793a3]

Bonjour ,
on me demande d'utiliser la demonstration par recurrence pour resoudre sa :
nⁿ⁺¹>n+1ⁿ
avec n≥3
vu que je bloque au niveau de l'hérédité , je ne vais pas trop tarder
On suppose que nⁿ⁺¹≥(n+1)ⁿ, et on veut (n+1)ⁿ⁺²≥(n+2)ⁿ⁺¹.

on sait que :

j'utilise ici l'hypothèse de recurrence




bon je n’ai pas pu terminé mais je me demande bien si avec cette continuité je pourrai démontrer la récurrence
Merci d'avance SVP pour votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

Tu as écrit ?

[invite2ae793a3]

Non regarde bien il y a un carré

[Resartus]

On y est presque.... (n²+2n+1)/n est supérieur à n+2....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Non regarde bien il y a un carré

Ce que je veux dire, c'est que pour montrer ton égalité , tu as dû écrire que , ce qui est faux. D'ailleurs, si tu poses , tu verras que ton égalité n'est pas correcte. En fait, tu fais plusieurs erreurs de calcul, mais avec quelques inégalités, tu arrives à la bonne conclusion.

[invite2ae793a3]

au fait pour sa j'ai juste multiplié par un : puis reeorganiser

[Seirios]

Peu importe comment tu as démontré l'égalité , puisqu'elle est fausse c'est que ta preuve n'est pas correcte.

[gg0]

DLLKEVIN,

quand tu divises par n dans la parenthèse, ça donne 1+.., pas n+..

Depuis le début tu justifies une expression fausse, qui est réutilisée ensuite avec le 1 correct.

[invite2ae793a3]

heuh mais est ce que la seule methode de demontrer cette inegalité par recurrence ?

[Resartus]

Il y a une méthode qui consiste à étudier la variation de la fonction x^(1/x)

Une fois démontré qu'elle est décroissante à partir de e, il est facile de se ramener à l'exercice proposé

Mais cela suppose de bien connaître ses calculs de dérivées : la méthode par récurrence est plus simple
(à condition de ne pas se planter dans les fractions....)

[Seirios]

On peut remarquer que est équivalent à . Donc le problème revient à démontrer qu'une fonction est décroissante.